[論文レビュー] Unified Bessel, Modified Bessel, Spherical Bessel and Bessel-Clifford Functions

Banu Yılmaz Yaşar, Mehmet Ali Özarslan|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2016

Mathematical functions and polynomials参考文献 39被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般化されたPochhammer記号を用いて、ベッセル関数、修正ベッセル関数、球ベッセル関数、ベッセル＝クリフォード関数を統合する一様な関数族を導入する。この一般化を活用することで、積分表現、変換（ラプラス、メリン）、漸化式、微分方程式が導出され、既知の特殊関数を包含する包括的な枠組みが提供され、特殊関数論における新たな結果が得られる。

ABSTRACT

In the present paper, unification of Bessel, modified Bessel, spherical Bessel and Bessel-Clifford functions via the generalized Pochhammer symbol [ Srivastava HM, Cetinkaya A, Kıymaz O. A certain generalized Pochhammer symbol and its applications to hypergeometric functions. Applied Mathematics and Computation, 2014, 226 : 484-491] is defined. Several potentially useful properties of the unified family such as generating function, integral representation, Laplace transform and Mellin transform are obtained. Besides, the unified Bessel, modified Bessel, spherical Bessel and Bessel-Clifford functions are given as a series of Bessel functions. Furthermore, the derivatives, recurrence relations and partial differential equation of the so-called unified family are found. Moreover, the Mellin transform of the products of the unified Bessel functions are obtained. Besides, a three-fold integral representation is given for unified Bessel function. Some of the results which are obtained in this paper are new and some of them coincide with the known results in special cases.

研究の動機と目的

• 一般化されたPochhammer記号を用いて、ベッセル、修正ベッセル、球ベッセル、ベッセル＝クリフォード関数を1つの一般化された関数族に統合すること。
• 生成関数、積分表現、ラプラスおよびメリン変換を含む、統一関数族の基本的な解析的性質を導出すること。
• 統一関数族に対する漸化式、微分、偏微分方程式を確立すること。
• 既知の特殊関数が、統一関数族の特別な場合としてどのように現れるかを示すこと。
• 三重積分表現を提示し、統一関数の積のメリン変換を評価すること。

提案手法

• 統一関数は、一般化された超幾何級数を用いた一般化されたPochhammer記号によって定義され、古典的ベッセル型関数の拡張がなされる。
• 一般化されたPochhammer記号は拡張されたベータ関数から構成され、より広いパrameter空間を可能にする。
• 積分変換および一般化された超幾何恒等式を用いて、積分表現（三重積分を含む）が導出される。
• ラプラスおよびメリン変換は、積分定義および一般化されたPochhammer記号の性質を用いて計算される。
• 級数表現の操作と作用素恒等式の適用により、漸化式および微分方程式が導出される。
• 統一関数は古典的ベッセル関数の級数として表現可能であり、既知の関数クラスとの関連が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベッセル、修正ベッセル、球ベッセル、ベッセル＝クリフォード関数は、一般化されたPochhammer記号を用いて1つの一般化された関数族に統合可能か？
• RQ2 この統一関数族の積分的・変換的・微分的性質は何か？
• RQ3 既知の特殊関数は、統一関数族の極限ケースとしてどのように現れるか？
• RQ4 統一ベッセル関数の積のメリン変換の構造は何か？
• RQ5 統一関数は古典的ベッセル関数の級数として表現可能か？

主な発見

• 統一ベッセル関数は古典的ベッセル関数の級数として表現可能であり、一般化形と古典形との直接的な関係が確立される。
• 統一ベッセル関数に対して三重積分表現が導出され、既知の積分形が一般化される。
• 2つの統一ベッセル関数の積のメリン変換が計算され、一般化された超幾何関数が得られる。
• 統一関数は2階の偏微分方程式を満たし、古典的ベッセル微分方程式が一般化される。
• 一般化されたPochhammer記号を用いて、統一関数のラプラスおよびメリン変換が明示的に評価される。
• パrameterが標準値に還元される場合、古典的ベッセル関数に関する既知の結果が特別な場合として回復される。