[論文レビュー] Unified convergence analysis of numerical schemes for a miscible displacement problem

Jérôme Droniou, Robert Eymard+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 65被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、勾配格子法（GDM）を用いて多孔質媒体内の可溶性移行問題を解く数値スキームの統一的収束解析を提示する。最小限の正則性仮定のもとで、近似濃度の$L^{\infty}(0,T;L^{2}(\Omega))$収束を確立し、可変粘度および低拡散条件下で中心差分スキームと上流スキームが失敗することを示し、メッシュサイズとともに消える等方的数値拡散を用いた安定かつ正確な補正を提案する。

ABSTRACT

This article performs a unified convergence analysis of a variety of numerical methods for a model of the miscible displacement of one incompressible fluid by another through a porous medium. The unified analysis is enabled through the framework of the gradient discretisation method for diffusion operators on generic grids. We use it to establish a novel convergence result in $L^\\infty(0,T; L^2(\\Omega))$ of the approximate concentration using minimal regularity assumptions on the solution to the continuous problem. The convection term in the concentration equation is discretised using a centred scheme. We present a variety of numerical tests from the literature, as well as a novel analytical test case. The performance of two schemes are compared on these tests; both are poor in the case of variable viscosity, small diffusion and medium to small time steps. We show that upstreaming is not a good option to recover stable and accurate solutions, and we propose a correction to recover stable and accurate schemes for all time steps and all ranges of diffusion.

研究の動機と目的

• 異なる数値スキームを用いた可溶性移行問題に適用する統一的収束解析を提供すること。
• 最小限の正則性仮定のもとで、時間に一様かつ空間で強い$L^{\infty}(0,T;L^{2}(\Omega))$収束を確立すること。
• 可変粘度および低拡散条件下で生じる中心差分スキームと上流スキームの不安定性を特定・解消すること。
• Darcy速度の大きさに比例する等方的数値拡散を用いた補正を提案し、すべての時間ステップおよび拡散領域で安定かつ正確なスキームを実現すること。

提案手法

• 勾配格子法（GDM）を一般メッシュ上で数値スキームを構築する統一的枠組みとして用いる。
• 濃度方程式の対流項は中心差分スキームで離散化する。
• スカラー退化放物型方程式に最近開発された手法に基づく新しい収束技術を適用し、$L^{\infty}(0,T;L^{2}(\Omega))$収束を達成する。
• 連続解に対する最小限の正則性仮定を分析に組み込むことで、ロバスト性を向上させる。
• 2つのスキームをテストした：直交メッシュ上の有限差分スキームと、三角形メッシュ上の質量集約$P^1$有限要素スキーム。
• Darcy速度の大きさに比例する等方的数値拡散を追加することで補正を導入し、メッシュサイズとともに消える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可溶性移行問題に応用される多様な数値スキームに対して、統一的収束解析を構築できるか？
• RQ2 提案された枠組みは、最小限の正則性仮定のもとで濃度の$L^{\infty}(0,T;L^{2}(\Omega))$収束を保証するか？
• RQ3 中心差分スキームと上流スキームが可変粘度および低拡散条件下でなぜ失敗するのか？
• RQ4 すべての時間ステップおよび拡散領域で良好に動作する安定かつ正確な数値スキームを構築できるか？
• RQ5 等方的数値拡散を追加することで、スキームの安定性および正確性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 統一的収束解析により、近似濃度の$L^{\infty}(0,T;L^{2}(\Omega))$収束が確立され、$L^{2}(0,T;L^{2}(\Omega))$やそれ以下のノルムでの先行結果を改善する。
• 数値実験により、粘度が変化し拡散が小さい場合、中心差分スキームおよび上流スキームともに不安定で不正確な結果を生じることが示された。
• 上流スキームが可変粘度および低拡散条件下で解を安定化できないことが実証され、上流スキームのロバスト性に関する一般的な仮定に疑問を呈する。
• Darcy速度の大きさに比例する等方的数値拡散を追加する補正を提案し、すべてのテスト条件で安定性と正確性を確保する。
• 補正は、上流拡散と同様にメッシュサイズとともに消えるため、一貫性および収束性を保つ。
• 提案されたスキームは、すべての時間ステップおよびすべての拡散範囲で安定かつ正確な解を達成し、困難な領域でも有効である。