[論文レビュー] Unified Form Language: A domain-specific language for weak formulations of partial differential equations

Martin Sandve Alnæs, Anders Logg+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 52

ひとこと要約

統一形式言語（UFL）は、偏微分方程式（PDE）の弱形式をほぼ数学的表記に近い形で指定できる、Pythonにおけるドメイン固有埋め込み言語（DSL）である。UFLは変分形式、自動微分、複雑な関数空間、テンソル代数をサポートしており、FFC や SFC などの形式コンパイラを介して、コンactで読みやすく正しい有限要素コードの生成を可能にする。

ABSTRACT

We present the Unified Form Language (UFL), which is a domain-specific language for representing weak formulations of partial differential equations with a view to numerical approximation. Features of UFL include support for variational forms and functionals, automatic differentiation of forms and expressions, arbitrary function space hierarchies for multi-field problems, general differential operators and flexible tensor algebra. With these features, UFL has been used to effortlessly express finite element methods for complex systems of partial differential equations in near-mathematical notation, resulting in compact, intuitive and readable programs. We present in this work the language and its construction. An implementation of UFL is freely available as an open-source software library. The library generates abstract syntax tree representations of variational problems, which are used by other software libraries to generate concrete low-level implementations. Some application examples are presented and libraries that support UFL are highlighted.

研究の動機と目的

• PDE の弱形式を、数学的表記に極めて近い形で記述できる高水準のドメイン固有言語を提供すること。
• 高水準の変分形式から、効率的で正しい低水準の有限要素法コードを自動生成すること。
• 任意の関数空間の階層と一般の微分作用素を備えた、複雑なマルチフィールド PDE システムをサポートすること。
• インデックス、形状、形式構造に関する静的チェックを通じて正しさを確保し、実装エラーを低減すること。
• 高水準の数学的仕様と低水準の有限要素コードコンパイラの間で、ポータブルで拡張可能なインターフェースを提供すること。

提案手法

• UFL は Python におけるドメイン固有埋め込み言語（DSEL）として実装されており、表現力があり読みやすい入力のために Python の構文とパーサーを活用している。
• 変分形式、汎関数、および暗黙の和（アインシュタイン記法）とインデックス記法を伴う任意のテンソル代数をネイティブにサポートしている。
• 形式および式の自動微分を言語に組み込み、効率的な導出計算を可能にしている。
• テンソルの形状、インデックス範囲、被積分関数における自由インデックスの一貫性に関する静的チェックを通じて、正しさを強制している。
• 変分問題の抽象構文木（AST）を生成し、FFC や SFC、Manycore Form Compiler などの形式コンパイラがこれを消費して、低水準の C++ または他のターゲットコードを生成する。
• DOLFIN やその他のライブラリは、これらの AST を使用して有限要素システムをアセンブル・解法することができ、数学的定式化から解法までを完全に自動化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱形式のPDEを、人間が読みやすく機械で処理可能な形で記述できるドメイン固有言語をどのように設計できるか？
• RQ2 複数のフィールド、テンソル代数、微分作用素を含む複雑な有限要素形式において、正しさを保証するにはどのようなメカニズムが必要か？
• RQ3 有限要素法の高水準言語に自動微分をどのようにシームレスに統合できるか？
• RQ4 インデックス、形状、形式構造の静的チェックが、有限要素コードにおける実装エラーをどの程度低減できるか？
• RQ5 UFL のような高水準言語は、複雑で結合されたPDEシステムの自動化とコード生成をどの程度可能にするか？

主な発見

• UFL は、ほぼ数学的表記に近い形で、複雑なマルチフィールド PDE システムを指定でき、コードの可読性と保守性を著しく向上させる。
• 自動微分のサポートにより、開発者の負担が軽減され、とくに複雑な弱形式において顕著である。
• UFL における静的チェックは、インデックスの不一致、形状の不一致、無効な自由インデックスの使用といったエラーをコンパイル前に対象として検出する。
• UFL の抽象構文木（AST）表現は、FFC や SFC などの複数の形式コンパイラによって正常に消費されており、相互運用可能なコード生成を実現している。
• FEniCS プロジェクト内で3年以上にわたり本番環境で使用されており、実世界の応用において堅牢性と拡張性を示している。
• DOLFIN や UFC との統合により、UFL 入力からシステムのアセンブルと解法までを完全に自動化することができ、包括的な有限要素ソフトウェアスタックを形成している。