[論文レビュー] Unified formal reduction for fluid models of free-surface shallow gravity-flows

Francois BouchutSebastien Boyaval|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2013

Fluid Dynamics and Thin Films参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、重力などの一定外部力の下で働く薄層非圧縮性浅水流のための統一的かつ形式的な長波長還元フレームワークを提示する。数学的整合性の性質を活用することで、粘性・粘弾性のさまざまな流れの性質（高速慣性流、低速粘性流）に対して体系的に還元モデルを導出でき、既存のモデルを統合するとともに、非ニュートン粘弾性流体のための新たなモデルを生成し、分野における先行研究を改善する。

ABSTRACT

We propose a unified approach to the formal long-wave reduction of several fluid models for thin-layer incompressible homogeneous flows driven by a constant external force like gravity. The procedure is based on a mathematical coherence property that univoquely defines one reduced model given one rheology and one thin-layer regime. For the first time, as far as we know, various known reduced models can thus be investigated within a single mathematical framework, for various rheologies (viscous and viscoelastic) and various limit regimes (fast inertial flows and slow viscous flows). Furthermore, our systematic procedure also produces new reduced models for viscoelastic non-Newtonian fluids and improves on our previous work [Bouchut & Boyaval, M3AS (23) 8, 2013].

研究の動機と目的

• 重力によって駆動される薄層非圧縮性均一流体のための形式的長波長還元を統一すること。
• 各流れの性質と薄層状態ごとに一意に定義される還元モデルを保証する数学的整合性の性質を導入することで、既存の還元手順における不整合を解消すること。
• 従来この文脈で十分に検討されていなかった、粘弾性非ニュートン流体を含む既存のモデルの範囲を拡張すること。
• Bouchut & Boyaval (2013) の先行研究を、より体系的かつ整合的な還元プロセスによって改善すること。
• 高速慣性流と低速粘性流の両状態を一貫して扱える単一の数学的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 各流れの性質と薄層状態の組み合わせに対して一意な還元モデルが得られるように保証する数学的整合性の性質に依存する。
• 非圧縮性均一流体の支配方程式に、薄層幾何形状を仮定した漸近解析を適用する。
• 粘性および粘弾性の複数の流れの性質を、一貫した応力とひずみ率の関係のスケーリングによって体系的に扱う。
• 長波長近似を用いて、三次元の流れ方程式を一次元の深さ平均モデルに還元する。
• 既存の還元モデル（例えば、浅水流、粘性浅水流）が特殊ケースとして回復できるほど、一般性を持つ。
• 複雑な状態方程式を用いた同一の形式主義を適用することで、粘弾性非ニュートン流体のための新たな還元モデルを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様な流れの性質と流れの状態にわたる流体モデルの長波長還元を統一する、単一で整合的な数学的フレームワークを構築するにはどうすればよいか？
• RQ2 与えられた流れの性質と状態に対して、導出された還元モデルの一意性と一貫性を保証する数学的性質は何か？
• RQ3 本フレームワークは、従来この分野で取り扱われていなかった粘弾性非ニュートン流体のための新たな還元モデルを体系的に生成できるか？
• RQ4 本手法は、Bouchut & Boyaval (2013) の形式的定式化と結果をどのように改善しているか？
• RQ5 既存の還元モデル（例えば、浅水流、粘性浅水流）が、この統一フレームワーク内での極限状態として回復できる範囲はどの程度か？

主な発見

• 提案されたフレームワークは、粘性および粘弾性を含む多様な流れの性質に対して、単一の数学的原理に従って長波長還元を統一する。
• 数学的整合性の性質により、各流れの性質と薄層状態が一意に定められた、明確に定義された還元モデルが得られる。
• 本手法は、浅水流や粘性浅水流方程式といった既存のモデルを特殊ケースとして成功裏に回復する。
• 粘弾性非ニュートン流体のための新たな還元モデルを生成し、長波長理論の適用範囲を複雑な流体挙動に拡張する。
• Bouchut & Boyaval (2013) の先行研究を、より体系的かつ数学的に整合性のある還元プロセスによって改善する。
• 本アプローチにより、統一的な理論的構造内での既存モデルの整合的比較と分類が可能になる。