[論文レビュー] Unified integral operator involving generalized Bessel-Maitland function

Waseem Ahmad Khan, Kottakkaran Sooppy Nisar|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2017

Mathematical functions and polynomials参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般化されたベッセル＝マイタランド関数を含む統一的積分作用素を導入し、一般化された(Wright)超幾何関数で表される二重積分変換を導出する。主な貢献は、一般化されたベッセル＝マイタランド関数と一般化されたミタグ・レフラー関数を含む二重積分の閉形式評価であり、パラメータを特化することで既知の積分公式を回復する多数の特殊ケースが導出されている。

ABSTRACT

The main object of this article is to present an interesting double integral involving generalized Bessel-Maitland function defined by Ghaysuddin et al., which is expressed in terms of generalized (Wright) hypergeometric function. We also considered some special cases as an application of the main result.

研究の動機と目的

• 一般化されたベッセル＝マイタランド関数を含む統一的積分作用素を構築し、特殊関数および積分変換分野への広範な適用可能性を高めること。
• 一般化されたベッセル＝マイタランド関数を含む二重積分を一般化された(Wright)超幾何関数で表現すること。
• 追加のパラメータを導入することで、ベッセル関数、ミタグ・レフラー関数、および超幾何関数を含む既存の積分結果を一般化すること。
• 古典的および一般化された特殊関数の既知の積分公式を回復する特殊ケースを提供すること。
• パrameter化された一般化を通じて、数学的物理学、工学、応用科学分野における積分変換の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 一般化されたポッヒハマー記号とパラメータμ, ν, γ, δ, p, qを用いて、一般化されたベッセル＝マイタランド関数が定義され、収束条件が付随する。
• 単位正方形[0,1]×[0,1]における二重積分が評価され、(1−x)、(1−y)、(1−xy)の累乗と一般化されたミタグ・レフラー関数を含む。
• 一般化されたベッセル＝マイタランド関数の級数展開を用い、項別に積分することで変換が行われる。
• 得られた級数は一般化された(Wright)超幾何関数として特定され、閉形式の表現が得られる。
• この手法は一般化された(Wright)超幾何関数の性質と級数の収束基準に依存する。
• パラメータの置換が適用され、特殊ケースが導出され、一般化形式がミタグ・レフラー関数や超幾何関数などの既知の関数に還元される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたベッセル＝マイタランド関数に対して、統一的二重積分作用素をどのように構築できるか？
• RQ2 一般化されたベッセル＝マイタランド関数および一般化されたミタグ・レフラー関数を含む二重積分の閉形式評価は何か？
• RQ3 パラメータの特化は、古典的特殊関数の既知の積分公式をどのように回復するか？
• RQ4 一般化された(Wright)超幾何関数の表現が成り立つ収束条件は何か？
• RQ5 統一的形は、特殊関数の積分変換分野における先行研究をどのように拡張するか？

主な発見

• 主な結果は、一般化された(Wright)超幾何関数として表される二重積分変換である： ∫₀¹∫₀¹ y^λ(1−x)^λ⁻¹(1−y)^μ⁻¹(1−xy)¹⁻λ⁻μ E_η,ν^γ[ay(1−x)(1−y)/(1−xy)²] dx dy = Γ(λ)Γ(μ)/Γ(ν)Γ(λ+μ) × _{q+2}Ψ_{η+2}[Δ(q;γ), λ, μ; Δ(η;ν), Δ(2;λ+μ); aq^q/(4η^η)].
• 特殊ケース(v)では、p=q=δ=1 かつ ν が ν−1 に置き換えられ、一般化されたミタグ・レフラー関数 E_η,ν^γ(z) が現れる。
• p=q=δ=γ=1 かつ ν=0 のとき、結果は古典的ミタグ・レフラー関数 E_η(z) を含む _3Ψ_2 関数に簡略化され、式(3.9)に示されている。
• 式(3.6)では、一般化された(Wright)関数から導かれるパラメータを有する一般化された超幾何関数 _3F_{η+2} として積分が表現されている。
• パラメータ制約により収束が保証される： Re(μ)>0, Re(λ)>0, Re(ν)>0, Re(γ)>0, および q∈(0,1)∪ℕ。
• 統一的形は、複数のパラメータを組み込むことで、先行研究を効果的に一般化し、パラメータの特化により既知の公式を回復可能である。