[論文レビュー] Unified View on L\'evy White Noises: General Integrability Conditions and Applications to Linear SPDE

Julien Fageot, Thomas Humeau|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、一般化された確率過程と独立に散らばる確率測度の2つの構成を統一し、前者を後者へ拡張することで、定義域を最大化する一般化された可積分性条件を可能にする。ガウス型、対称安定型α-スケーリング、ラプラス型、および複合ポアソン型のノイズに対して、実用的な定義域の基準を確立し、このようなノイズによって駆動される線形SPDEの一般化解の存在に関する一般基準を導出する。

ABSTRACT

There exists several ways of constructing L\'evy white noise, for instance are as a generalized random process in the sense of I.M. Gelfand and N.Y. Vilenkin, or as an independently scattered random measure introduced by B.S. Rajput and J. Rosinski. In this article, we unify those two approaches by extending the L\'evy white noise, defined as a generalized random process, to an independently scattered random measure. We are then able to give general integrability conditions for L\'evy white noises, thereby maximally extending their domain of definition. Based on this connection, we provide new criteria for the practical determination of this domain of definition, including specific results for the subfamilies of Gaussian, symmetric-$\alpha$-stable, Laplace, and compound Poisson noises. We also apply our results to formulate a general criterion for the existence of generalized solutions of linear stochastic partial differential equations driven by a L\'evy white noise.

研究の動機と目的

• レビー白色ノイズの一般化された確率過程と独立に散らばる確率測度のアプローチを統一すること。
• 一般化された構成を独立に散らばる確率測度へ拡張することで、レビー白色ノイズの定義域を拡張すること。
• レビー白色ノイズの定義域を最大化する一般化された可積分性条件を導出すること。
• ガウス型、対称安定型α-スケーリング、ラプラス型、および複合ポアソン型ノイズといった主要な部分族に対して、定義域の実用的基準を提供すること。
• レビー白色ノイズによって駆動される線形確率偏微分方程式の一般化解の存在に関する一般基準を定式化すること。

提案手法

• 測度論的一般化を用いて、レビー白色ノイズの定義を一般化された確率過程から独立に散らばる確率測度へ拡張する。
• 独立に散らばる確率測度の理論を適用し、レビー測度と特性指数を用いてレビー白色ノイズの可積分性を特徴付ける。
• レビー＝キンチーネ表現とレビー測度のモーメント条件に基づいて、一般化された可積分性条件を導出する。
• その特定のレビー型ノイズ部分族の特性を用いて、拡張されたフレームワークを適用し、定義域の性質を分析する。
• 拡張された定義域を用いて、レビー白色ノイズによって駆動される線形SPDEの一般化解の存在に関する十分条件を定式化する。
• 関数解析的および確率積分技法を用いて、解が一般化関数空間内で適切に定義されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された確率過程と独立に散らばる確率測度によるレビー白色ノイズの構成は、どのように統一できるか？
• RQ2 レビー白色ノイズの定義域を最大化する一般化された可積分性条件は何か？
• RQ3 特定のレビー型ノイズ部分族に対して、定義域の実用的基準をどのように導出できるか？
• RQ4 レビー白色ノイズによって駆動される線形SPDEの一般化解の存在を保証する条件は何か？
• RQ5 統一されたフレームワークは、レビー白色ノイズに関する確率積分の特徴付けをどのように改善するか？

主な発見

• 本論文は、一般化された確率過程から独立に散らばる確率測度へのレビー白色ノイズの拡張に成功し、定義域を広げることを可能にした。
• レビー測度と特性指数に基づいた一般化された可積分性条件が導出され、定義域の最大拡張が可能になった。
• ガウス型、対称安定型α-スケーリング、ラプラス型、および複合ポアソン型ノイズに対して、それぞれのレビー特性を用いて定義域の実用的基準が確立された。
• 拡張されたフレームワークを用いて、レビー白色ノイズによって駆動される線形SPDEの一般化解の存在に関する一般基準が定式化された。
• 統一されたアプローチにより、与えられたテスト関数や分布がレビー白色ノイズに対して可積分かどうかを体系的に判定する方法が提供された。
• 結果として、ガウス型を越えて非ガウス型および重尾型ノイズを含むSPDEの厳密な取り扱いが可能になった。