[論文レビュー] Uniform approximation in classical weak convergence theory

Viktor Bengs, Hajo Holzmann|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、確率論における古典的な弱収束結果の均一版を展開し、パラメータ族にわたる一様漸近正規性に注目している。一様絶対連続性やモーメント制限といった条件下で、一様中心極限定理を確立し、パrameter化された確率測度族全体にわたって、確率ベクトルの和が正規分布に一様に弱収束することを可能にする。

ABSTRACT

A common statistical task lies in showing asymptotic normality of certain statistics. In many of these situations, classical textbook results on weak convergence theory suffice for the problem at hand. However, there are quite some scenarios where stronger results are needed in order to establish an asymptotic normal approximation uniformly over a family of probability measures. In this note we collect some results in this direction. We restrict ourselves to weak convergence in $\mathbb R^d$ with continuous limit measures.

研究の動機と目的

• 古典的な弱収束理論を、パラメータ化された確率測度族にわたる一様収束へと拡張すること。
• 標準的な結果がパrameter依存性の下で失敗する統計的推論において、一様漸近正規性の必要性に対処すること。
• 統計的応用に耐性を持つ基礎的定理（例：ポールタンメ、クラメール＝ヴールド、リンデバルク＝フェラー）の一様版を提供すること。
• 確率分布族全体にわたって、確率ベクトルの和が一様に正規分布に分布収束するための条件を確立すること。

提案手法

• 有界連続関数に対するパラメータ集合上の上限を用いた一様弱収束の導入：$\mu_n^{\vartheta} \stackrel{w,\Theta}{\Rightarrow} \mu^\vartheta$。
• 連続測度$Q$に関する$\Theta$上での一様絶対連続性を定義し、小さな集合に対する一様な制御を保証する。
• 主要定理の一様版の導出：ポールタンメ、クラメール＝ヴールド、連続写像定理、スルツキーの補題。
• 一様レヴィの連続性定理および一様特性関数近似を用いて、特性関数の一様収束を証明する。
• 一様モーメント条件および一様リンデバーグ型条件を用いて、特性関数が正規特性関数に一様に収束することを検証する。
• 一様近似補題（例：補題7.1, 7.2, 7.3）を用いて、特性関数の積と指数関数との差を抑える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱収束がパラメータ族$\Theta$にわたって一様に成立するための条件は何か？
• RQ2 古典的な弱収束結果（例：クラメール＝ヴールド、ポールタンメ）は、$\Theta$にわたる一様収束へとどのように拡張できるか？
• RQ3 一様モーメント条件および一様絶対連続性条件が、一様に正規分布に収束することを保証するにはどのようなものか？
• RQ4 一様リンデバーグ＝フェラー定理の一様版を確立でき、一様中心極限定理を得られるか？
• RQ5 一様積分可能性および高階モーメントの消滅条件下で、特性関数の一様収束をどのように証明できるか？

主な発見

• 一様弱収束$\mu_n^{\vartheta} \stackrel{w,\Theta}{\Rightarrow} \mu^\vartheta$は、有界連続関数への積分の一様収束と同値である。
• 一様絶対連続性のもとで一様ポールタンメ定理が成立し、収束が閉集合・開集合および下半連続関数と関連づけられる。
• 一様クラメール＝ヴールド定理により、射影の収束が一様分布収束を保証する。
• 一様レヴィの連続性定理により、特性関数の一様収束と一様弱収束が結びつく。
• 一様リンデバーグ＝フェラー定理により、和の分散が一様に収束し、かつリンデバーグ条件が一様に満たされるならば、和は一様に分布収束して正規分布に収束する。
• 主結果（定理7.4）は、$\sup_{\vartheta \in \Theta} |P(\sum X_{n,i}^\vartheta \leq \mathbf{x}) - \Phi_\Sigma(\mathbf{x})| = o(1)$を示し、一様モーメントおよび一様絶対連続性条件の下で一様漸近正規性が成立することを証明する。