[論文レビュー] Uniform approximation of fractional derivatives and integrals with application to fractional differential equations

Hassan Khosravian‐Arab, Delfim F. M. Torres|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、キャプトおよびリーマン–リウヴィルの意味における分数階微分および積分を一様に近似するための数値的手法を、ベルンシュタイン多項式に基づいて提案する。この手法により、分数階微分方程式（FODEs）の正確で安定な解法が可能になる。近似多項式の分数階微分および積分について一様収束が達成され、線形および非線形の両方のFODEsに対して収束速度および安定性が厳密に確立されている。

ABSTRACT

It is well known that for every $f\in C^m$ there exists a polynomial $p_n$ such that $p^{(k)}_n ightarrow f^{(k)}$, $k=0,\ldots,m$. Here we prove such a result for fractional (non-integer) derivatives. Moreover, a numerical method is proposed for fractional differential equations. The convergence rate and stability of the proposed method are obtained. Illustrative examples are discussed.

研究の動機と目的

• 非整数階微分および積分を含む分数階微分方程式（FODEs）を解くための、容易に利用可能で頑健な数値的アルゴリズムの不足に対処する。
• キャプトおよびリーマン–リウヴィルの分数階微分に対して、ベルンシュタイン多項式近似の一致収束を証明することにより、古典的なワイエルシュトラス近似定理を分数階微分へと拡張する。
• 線形および非線形の両方のFODEsを解くための一般的で計算的に効率的な数値スキームを、ベルンシュタイン多項式に基づいて開発する。
• 標準的なリプシッツおよびホルダー型の仮定の下で、提案手法の理論的収束速度および安定性条件を確立する。
• 数値例を通じて、正確な解が既知のケースおよび正確な解が未知の非線形問題を含む、手法の有効性を示す。

提案手法

• 関数とその分数階微分を同時に近似できるという性質を活用し、解関数およびその分数階微分をベルンシュタイン多項式で近似する。
• 整数 $ k $ に対して $ B_n^{(k)}(f;x) \to f^{(k)}(x) $ が一様収束することを証明し、その結果を積分表現を用いて分数階微分へと拡張する。
• リーマン–リウヴィルおよびキャプトの定義に基づき、核 $ (t-z)^{\alpha-1} $ を含む積分作用素を用いて、ベルンシュタイン多項式近似の分数階微分を定式化する。
• 正確な分数階作用素とそのベルンシュタイン多項式近似との差を分析することにより、分数階積分および微分の近似誤差の境界を導出する。
• グロンウォール型の不等式およびマイトガール関数 $ E_{\alpha,\alpha}(\cdot) $ を用いて、摂動を加えたFODEの解の差をバインドすることで安定性を確立する。
• 時間区間を離散化し、ガウス＝レジェンドル点におけるコロケーションまたは同等の求積則を用いて得られる代数方程式系を解くことにより、数値的に手法を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルンシュタイン多項式を用いて、キャプトおよびリーマン–リウヴィルの意味における分数階微分および積分を一様に近似できるか？
• RQ2 分数階微分のベルンシュタイン多項式近似の収束速度は何か？また、元の関数の滑らかさにどのように依存するか？
• RQ3 提案された近似を、安定性が保証された数値スキームに統合するにはどうすればよいか？
• RQ4 正確な解が既知でない非線形FODEsに適用した場合、この手法の挙動はいかなるものか？
• RQ5 近似誤差は、多項式の次数 $ n $ が増加するにつれてどのように変化するか？特に、正確な解が低次の多項式である場合にどうなるか？

主な発見

• ベルンシュタイン多項式 $ B_n(f;x) $ の $ m $ 階微分が、$ m $ 階古典的微分 $ f^{(m)}(x) $ に一様収束することを示し、その結果を積分表現を用いて分数階微分へと拡張する。
• $ C^p[0,1] $ に属する関数に対して、ベルンシュタイン多項式の $ p $ 階微分は $ n \to \infty $ のとき、関数の $ p $ 階微分に一様収束する。この収束の漸近的誤差項は、ヴォロノフスカヤの定理により $ x(1-x)f''(x) $ に支配される。
• 適切な滑らかさ条件の下で、分数階微分近似の収束速度が $ \mathcal{O}(1/n) $ であることが示され、積分核解析を用いて誤差境界が導出された。
• 右辺のリプシッツ条件の下で、FODEを解くための数値的手法が安定であることが証明され、解の誤差は $ C \|f - f'\| $ でバインドされる。ここで $ C $ はマイトガール関数 $ E_{\alpha,\alpha}(\Lambda t^\alpha) $ に依存する。
• 例 5.7 において、正確な解が5次多項式の場合、$ n=5 $ でマシン精度に達し、$ n>5 $ では誤差が増加することが確認された。これは、多項式解に対して本手法が最適性を有することを裏付ける。
• 例 5.6～5.9 の数値結果は、線形および非線形FODEsの両方において、正確な解が未知であっても高い精度を達成しており、$ n $ の増加に伴い一貫した収束を示している。