[論文レビュー] Uniform Asymptotics for Nonparametric Quantile Regression with an Application to Testing Monotonicity

Sokbae Lee, Kyungchul Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2015

Statistical Methods and Inference参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多様な分位数、評価点、およびデータ生成分布の範囲にわたり有効な、局所多項式分位数回帰推定量の均一なバハドゥール表現を確立する。主な貢献は、非漸近的誤差率を提供することであり、これは特に複雑な合成帰無仮説（例：単調性）の下での非パラメトリック分位数回帰における均一な推論を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we establish a uniform error rate of a Bahadur representation for local polynomial estimators of quantile regression functions. The error rate is uniform over a range of quantiles, a range of evaluation points in the regressors, and over a wide class of probabilities for observed random variables. Most of the existing results on Bahadur representations for local polynomial quantile regression estimators apply to the fixed data generating process. In the context of testing monotonicity where the null hypothesis is of a complex composite hypothesis, it is particularly relevant to establish Bahadur expansions that hold uniformly over a large class of data generating processes. In addition, we establish the same error rate for bootstrap local polynomial estimators which can be useful for various bootstrap inference. As an illustration, we apply to testing monotonicity of quantile regression and present Monte Carlo experiments based on this example.

研究の動機と目的

• 分位数、回帰変数の評価点、および広範なデータ生成分布のクラスにわたって有効な、局所多項式分位数回帰推定量の均一バハドゥール表現を構築すること。
• 特に単調性のような複雑な合成帰無仮説の下で、点ごとの漸近理論の限界を克服すること。
• ブートストラップ推定量への理論の拡張を行い、リサンプリングに基づく手法における均一推論を可能にすること。
• 非パラメトリック手法を用いた条件付き分位数関数の単調性の検定に理論的基盤を提供すること。
• 有限標本における推論の安定性を保証するため、基礎となる確率測度における一様性を確立すること。これは、仮説検定における信頼性の高いサイズと被覆確率を確保するために不可欠である。

提案手法

• 分位数、回帰変数の値、および広範な確率測度のクラスにわたって一様な誤差バウンドを持つ、局所多項式分位数回帰推定量の均一バハドゥール表現を導出する。
• 経験過程の従属構造を扱うためにポアソン化技術を適用し、確率測度のクラスにわたる一様バウンドを導出する。
• 経験過程理論と対称化アプローチを用いて、関数族によってインデックス付けられた経験過程の上界を制御する。
• 設計および誤差密度のエントロピーおよびモーメント条件を活用し、元の推定量およびブートストラップ推定量の両方の均一収束速度を確立する。
• LSW（Lahiri, Shao, and Wu）漸近線形化フレームワークを適用し、ブートストラップ文脈における均一推論のための条件を検証する。
• パrameter空間全体にわたるブートストラップ推定量と真の条件付き分位数推定量の差を一様に制御する再中心化および対称化戦略を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分位数インデックス、回帰変数の評価点、および基礎となるデータ生成分布のすべてにわたって一様な、局所多項式分位数回帰のバハドゥール表現を確立できるか？
• RQ2 ブートストラップ推定量の非パラメトリック分位数回帰関数に対する均一漸近理論をどのように拡張できるか？
• RQ3 基礎となる確率測度における一様性が、条件付き分位数関数の単調性検定に与える影響は何か？
• RQ4 提案された均一表現は、点ごとの漸近近似と比較して、非パラメトリック検定における有限標本性能をどのように改善するか？
• RQ5 均一誤差率は、単調性制約のような不等式制約を含むモデルにおける推論をどの程度支援するか？

主な発見

• 本稿は、分位数、評価点、および広範なデータ生成分布のクラスにわたって一様に有効な、局所多項式分位数回帰推定量の均一バハドゥール表現を確立し、誤差率が $ O_P\big(\frac{\rho_{2n}^{3/2} \rho_{\text{log}} \rho_{\text{log}}}{n^{1/4} h^{d/4}}\big) $ であることを示した。
• 同じ均一誤差率がブートストラップ局所多項式推定量に対しても導出され、リサンプリング手順における有効な均一推論を可能にした。
• 確率測度のクラスにわたる一様性により、サイズと被覆確率における有限標本の安定性が保証され、これは複雑な合成仮説の検定において極めて重要である。
• 理論的根拠を備えた $ L_p $-型検定統計量の開発が、条件付き分位数関数の単調性検定に支援された。
• 結果は、条件付きメジアンの単調性の検定に応用され、モンテカルロ実験により有限標本性能が実証された。
• 均一表現により、真の条件付きメジアン関数が一様にゼロに収束する場合（例：$ x^3/n $）でさえも、一貫した推論が可能になった。この場合、点ごとの理論では接触集合の挙動を捉えることができない。