[論文レビュー] Uniform behavior of families of Galois representations on Siegel modular forms and the Endoscopy Conjecture

Luís Dieulefait|ArXiv.org|Apr 27, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、重み $k > 3$ で多重度1かつ半安定還元をもつ genus two Siegel cusp form に付随する Galois 表現の可換族に対して、一様性の原理を確立する。もし奇素数 $ olde_0$ に対して $ olde_0$-adic 表現が可約であれば、すべての表現が可約である。Serre のモジュラリティ予想（現在は定理）と組み合わせることで、エンドスコピーモデルの予想が証明され、可約成分が twist を通じて古典的モジュラー形式から生じることを示す。

ABSTRACT

We prove the following uniformity principle: if one of the Galois representations in the family attached to a genus two Siegel cusp form of weight $k>3$, "semistable" and with multiplicity one, is reducible (for an odd prime $p$),then all the representations in the family are reducible. This, combined with Serre's conjecture (which is now a theorem) gives a proof of the Endoscopy Conjecture.

研究の動機と目的

• 重み $k > 3$ で多重度1かつ半安定還元をもつ genus two Siegel cusp form に付随する可換族の Galois 表現の可約性に関する一様性の原理を確立すること。
• レベル 1 の形式についての既存の可約性および大画像に関する結果を、一般の半安定ケースに拡張すること。
• ある素数 $ olde_0$ に対して可約であれば、可換族内のすべての表現が可約であることを示すこと。
• 一様性と Serre の予想（現在は定理）を組み合わせることで、半安定の場合にエンドスコピーモデルの予想が成り立つことを示すこと。

提案手法

• Taylor の Fontaine-Mazur 予想および奇数次元 2 次元 Galois 表現のメロモルフィック $L$-関数の解析的接続に関する結果を用いる。
• $p$-adic Hodge 理論を用いて、インertial 操作を分析し、Ribet の半安定 2 次元表現に関する結果をより高い重みに拡張する。
• Chebotarev の密度定理および Galois 群論を用いて、局所的な可約性から大域的な一様性を導出する。
• 絶対的非可約性でない場合に対処するため、特性多項式の係数体（定義体ではなく）を扱う。
• 4 次元 Galois 表現の成分から、2 次元表現の可換族を構成する。
• Serre の予想（現在は定理）を適用し、2 次元成分のモジュラリティを示し、それらが古典的モジュラー形式から生じることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換族に属する単一の $\ell$-adic Galois 表現の可約性が、他のすべての表現に対しても可約性を意味するのはどのような条件下か？
• RQ2 Siegel 模型形式に付随する 4 次元シンプレクティック Galois 表現の可換族に対して、可約性の一様性を確立できるか？
• RQ3 一様可約性と Serre のモジュラリティ予想の組み合わせが、エンドスコピーモデルの予想にどのように寄与するか？
• RQ4 一様性結果における仮定 $\ell_0 > 4k - 5$ をどの程度取り除けるか？
• RQ5 半安定性が、可約性が可換族全体にわたって一様であることを保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 重み $k > 3$ で、$N$ に割り切られない奇素数 $ olde_0$ に対して、genus two Siegel cusp form に付随する $ olde_0$-adic Galois 表現が可約であれば、可換族内のすべての表現が可約である。
• 以前の制限 $\ell_0 > 4k - 5$ を除去した後、一様性結果はすべての素数 $ olde_0 > 2$ に対して成り立つ。
• Saito-Kurokawa 型でない場合、可約成分は同一の行列式をもつ 2 個の非可約 2 次元表現からなる必要がある。
• Galois 表現の 2 次元成分は Serre の予想によりモジュラーであることが示され、重み 2 および $2k-2$ の古典的モジュラー形式から生じる。
• 半安定の場合にエンドスコピーモデルの予想が証明された：4 次元 Galois 表現の非可約成分は twist を通じてモジュラーである。
• 最近の Skinner と Urban の研究を用いて、非半安定の場合にも拡張され、これらの可換族に対してエンドスコピーモデルの予想が一般に成立することが確認された。