[論文レビュー] Uniform convergence of conditional distributions for absorbed one-dimensional diffusions

Nicolas Champagnat, Denis Villemonais|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、吸収された1次元拡散過程における全 variation 距離での指数的収束が、一意の準定常分布に一様に成り立つための必要十分条件を確立する。収束はすべての初期分布に一様に成り立つ。主な結果は、この収束が入口境界性質とスケール関数におけるモーメント条件と関連することを示しており、厳密局所マルティンガールの応用およびジャンプを伴う過程への応用を含む。

ABSTRACT

This article studies the quasi-stationary behaviour of absorbed one-dimensional diffusions. We obtain necessary and sufficient conditions for the exponential convergence to a unique quasi-stationary distribution in total variation, uniformly with respect to the initial distribution. An important tool is provided by one dimensional strict local martingale diffusions coming down from infinity. We prove under mild assumptions that their expectation at any positive time is uniformly bounded with respect to the initial position. We provide several examples and extensions, including the sticky Brownian motion and some one-dimensional processes with jumps.

研究の動機と目的

• 吸収された1次元拡散過程の条件付き分布が、一意の準定常分布に全 variation 距離で一様に指数的収束する条件を特定すること。
• この収束がすべての初期分布に一様に成り立つための必要十分条件を同定すること。
• 収束性質と「無限大から降下する」厳密局所マルティンガールの挙動との間の関係を確立すること。
• 結果をジャンプを伴う過程および時不変でない、または区分的決定的なダイナミクスに拡張すること。
• 速度測度と準定常分布を結ぶ明示的公式を提示し、所望の準定常分布を有する拡散過程の構成を可能にすること。

提案手法

• 入口境界とスケール関数による生存確率の上界を含む、基準（条件B）を導出する。
• 1次元拡散過程およびスケール関数の理論を用いて、準定常挙動と吸収時刻を分析する。
• 期待値が初期位置にわたって一様に有界であることを示すことで、厳密局所マルティンガールを分析する。
• 部分積分とダンキンの公式を用い、適切な関数空間におけるテスト関数への生成子の作用を検証する。
• ポアソン過程を介したカップリングを構築し、元の拡散過程と変更された過程を比較することで、一様エルゴディシティ推定を可能にする。
• カップリング法を用いて、一様なマイノリゼーションおよび到達時間条件（A1, A2）を証明し、一様混合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 吸収された1次元拡散過程の条件付き分布が、全 variation 距離で一様に、すべての初期分布にわたって指数的速さで一意の準定常分布に収束する条件は何か？
• RQ2 一様な指数的収束は、入口境界性質およびスケール関数の無限大近傍での挙動とどのように関連するか？
• RQ3 任意の固定された正の時刻で、初期位置にわたって一様に有界であることが保証されるような、厳密局所マルティンガール拡散過程の期待値の条件は何か？
• RQ4 一様収束性は、ジャンプを伴う拡散過程や時不変でないダイナミクスに拡張可能か？
• RQ5 与えられた確率測度を一意の準定常分布として持つ、自然スケール上の拡散過程を明示的に構成する方法は何か？

主な発見

• 全 variation 距離における一様な指数的収束が成り立つのは、右境界が入口境界であり、かつすべての x > 0 に対して P_x(τ_∂ > t) ≤ A s(x) を満たす t, A > 0 が存在する場合に限り、s はスケール関数である。
• 無限大から降下する厳密局所マルティンガール拡散過程では、無限大近傍における速度測度の弱い振動制御のもとで、任意の t > 0 に対して sup_{x>0} E_x[Z_t] < ∞ が成り立つ。
• この結果は、すべての x > 0 に対して E_x[Z_t] < x であることは、すべての t > 0 に対して sup_{x>0} E_x[Z_t] < ∞ であることに同値であり、dZ_t = Z_t^α dB_t というSDEでは α > 1 のとき成り立つ。
• 条件Bは、ほとんどすべての無限大から降下する拡散過程および0にほとんど確実に有限時間で到達する拡散過程に対して検証される。
• 自然スケール上の拡散過程の速度測度とその準定常分布との間に明示的な公式が導出される。
• 区間 (0,∞) 上の確率測度 α が弱い条件を満たし、λ₀ > 0 が与えられたとき、速度測度を明示的に構成できる一意の自然スケール上の拡散過程が存在し、α がその一意の準定常分布で吸収率が λ₀ となる。