[論文レビュー] Uniform distribution of Galois conjugates and beta-conjugates of a Parry number near the unit circle and dichotomy of Perron numbers

Jean-Louis Verger-Gaugry|ArXiv.org|Nov 26, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、エドーシュ＝トゥーランの不偏性枠組みを用いて、パリ数のガロア共役およびベータ共役が単位円周の近くにどのように等分布しているかを調査する。この枠組みはミニョットとアモロソの改良により精錬されている。パリ多項式の円分的因子とリーマン予想との間にリンクを確立し、パリ数の系列に対する等分布極限定理を証明する。さらに、代数的数体におけるパリ数と非パリ数のペロン数の間の二分性を強調する。

ABSTRACT

Concentration and equi-distribution, near the unit circle, in Solomyak's set, of the union of the Galois conjugates and the beta-conjugates of a Parry number $β$ are characterized by means of the Erdős-Turán approach, and its improvements by Mignotte and Amoroso, applied to the analytical function $f_β(z) = -1 + \sum_{i \geq 1} t_i z^i$ associated with the Rényi $β$-expansion $d_β(1)= 0.t_1 t_2 ...$ of unity. Mignotte's discrepancy function requires the knowledge of the factorization of the Parry polynomial of $β$. This one is investigated using theorems of Cassels, Dobrowolski, Pinner and Vaaler, Smyth, Schinzel in terms of cyclotomic, reciprocal non-cyclotomic and non-reciprocal factors. An upper bound of Mignotte's discrepancy function which arises from the beta-conjugates of $β$ which are roots of cyclotomic factors is linked to the Riemann hypothesis, following Amoroso. An equidistribution limit theorem, following Bilu's theorem, is formulated for the concentration phenomenon of conjugates of Parry numbers near the unit circle. Parry numbers are Perron numbers. Open problems on non-Parry Perron numbers are mentioned in the context of the existence of non-unique factorizations of elements of number fields into irreducible Perron numbers (Lind).

研究の動機と目的

• パリ数のガロア共役およびベータ共役が単位円周の近くにどのように集中し、等分布しているかを特徴づける。
• カッセルズ、ドゥブロウルスキー、ピンナー、ヴェーラー、スミス、シュインゼルの結果を用いて、パリ多項式を円分的、反転的でない非円分的、および非反転的因子に因数分解することを分析する。
• ミニョットの不偏性関数における円分的因子の役割とリーマン予想との関連を調査する。
• パリ数の系列に対する等分布極限定理を定式化し、ビルの定理を拡張する。
• 非パリ数ペロン数の算術的構造、特に数体における非一意的因数分解に関して未解決の問題を探求する。

提案手法

• ユニティのレニーβ-展開に関連する生成関数 $ f_{\beta}(z) = -1 + \sum_{i\geq 1} t_i z^i $ に対して、エドーシュ＝トゥーランのアプローチを適用する。
• ミニョットの不偏性関数（因数分解に関して劣加法的）を用いて、パリ多項式 $ n_{\beta}^*(X) $ の根の分布を分析する。
• カッセルズ、ドゥブロウルスキー、ピンナー、ヴェーラー、スミス、シュインゼルの定理を用いて、$ n_{\beta}^*(X) $ を円分的、反転的でない非円分的、および非反転的既約因子に因数分解する。
• アモロソの結果を介して、円分的因子に由来する単位根の不偏性寄与をリーマン予想に関連付ける。
• ビルの等分布定理を適用して、パリ数の系列に対する極限定理を導出し、単位円周上のハール測度を極限分布とする。
• ツェゴの定理を用いて、$ \beta $ がパリ数でない場合、$ f_{\beta}(z) $ が自然境界として単位円を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パリ数のガロア共役およびベータ共役は、単位円周の近くにどのように分布しているか？
• RQ2 パリ多項式の不偏性関数における円分的因子の役割は何か？また、リーマン予想とはどのように関連しているか？
• RQ3 パリ数の系列に対する等分布極限定理を確立できるか？ビルの定理に類似した形で。
• RQ4 非パリ数ペロン数の算術的構造は何か？特に、数体における非一意的因数分解に関して。
• RQ5 パリ多項式の因数分解型（円分的、反転的、非反転的）は、共役の分布にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 円分的因子に由来する不偏性関数は、アモロソの結果に従い、リーマン予想と関連づけられる。
• パリ数の系列に対する等分布極限定理が確立され、極限分布として単位円周上のハール測度が得られ、ビルの定理が拡張される。
• パリ数の正の実共役の個数は有界であり、ランダム多項式のカックの公式と比較可能である。
• パリ多項式 $ n_{\beta}^*(X) $ は、円分的、反転的でない非円分的、および非反転的既約因子に因数分解され、それぞれが不偏性に異なる寄与をする。
• 特に円分的および非反転的因子に由来するベータ共役の重複度に対する上界が得られる。
• すべての実数体 $ \mathbb{K} \neq \mathbb{Q} $ において、ペロン数の非一意的因数分解が存在する（定理5.6により示され、非有理ペロン数の存在と関連づけられる）。