[論文レビュー] Uniform distribution of subpolynomial functions along primes and applications

Vitaly Bergelson, Grigori Kolesnik+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$ H $ をハーディー場とするとき、$ f \in H $ である部分多項式関数が、自然数上での1モジュロの均等分布と、素数上での1モジュロの均等分布が同値であることを確立する。この同値性により、エルゴディック理論および組合せ論的結果の顕著な一般化が可能となり、素数上での多項式的および部分多項式的列に関する新しい密度および再帰定理が得られ、本分野における均等分布および力学系における再帰の研究を拡張する。

ABSTRACT

Let $H$ be a Hardy field (a field consisting of germs of real-valued functions at infinity that is closed under differentiation) and let $f \in H$ be a subpolynomial function. Let $\mathcal{P} = \{2, 3, 5, 7, \dots \}$ be the (naturally ordered) set of primes. We show that $(f(n))_{n \in \mathbb{N}}$ is uniformly distributed mod 1 if and only if $(f(p))_{p \in \mathcal{P}}$ is uniformly distributed mod 1. This result is then utilized to derive various ergodic and combinatorial statements which significantly generalize the results obtained in [BKMST].

研究の動機と目的

• 部分多項式関数 $ f \in H $ が自然数 $ \mathbb{N} $ 上で1モジュロに均等分布するかどうかと、その素数 $ \mathcal{P} $ への制限が1モジュロに均等分布するかどうかの基本的同値性を確立すること。
• 素数および多項式的類似列を含む再帰および密度に関する、従来のエルゴディック的および組合せ論的結果の一般化。
• フールステンベルクの対応原理を、シフトされた素数における部分多項式的および多項式的列へ適用可能にする。
• 集合 $ \{(p-1)^{\alpha_i}, [(p-1)^{\beta_j}] \} $ が、正の上バナッハ密度をもつ集合において、正の下相対密度をもつことの証明。
• 関数の成長および無理数性に関する弱い条件下で、部分多項式的関数 $ f \in H $ に対して、列 $ (f(p))_{p \in \mathcal{P}} $ が1モジュロに均等分布することの証明。

提案手法

• 微分に関して閉じており、成長が制御された部分多項式関数を解析するためのハーディー場の枠組みの使用。
• 1モジュロの均等分布を確立するためのウェイルの基準および指数和の推定への応用。
• 円法およびボンビエリ＝ヴィノグラドフ型推定を用いて、問題を素数上での線形的および多項式的位相の等分布に還元。
• ヒルベルト空間におけるスペクトル分解を有理的成分および完全に弱く混合的成分に分けることで、エルゴディック平均を解析。
• 対応原理を用いて、エルゴディックな結果を正の上バナッハ密度をもつ集合に関する組合せ的命題に翻訳。
• 線形写像 $ L $ の構成により、多項式的および部分多項式的列を高次元の配置に埋め込み、密度解析に応用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分多項式的関数 $ f \in H $ に対して、列 $ (f(p))_{p \in \mathcal{P}} $ が1モジュロに均等分布するための条件は何か？
• RQ2 自然数上での $ (f(n))_{n \in \mathbb{N}} $ の1モジュロの均等分布が、素数上での $ (f(p))_{p \in \mathcal{P}} $ の均等分布を示すのはいつか？
• RQ3 線形空間 $ ((p-h)^{\alpha_i}, [(p-h)^{\beta_j}]) $ に沿うエルゴディック平均が、ヒルベルト空間内で強く収束することを示せるか？
• RQ4 集合 $ D_h = \{ ((p-h)^{\alpha_i}, [(p-h)^{\beta_j}]) \} $ が、正の上バナッハ密度をもつ集合において、相対密度はどの程度か？
• RQ5 部分多項式関数の整数部および小数部を含む列に対して、対応原理をどのように変更して素数上に適用できるか？

主な発見

• 任意の部分多項式的関数 $ f \in H $ に対して、列 $ (f(p))_{p \in \mathcal{P}} $ が1モジュロに均等分布するための必要十分条件は、$ (f(n))_{n \in \mathbb{N}} $ が1モジュロに均等分布することである。
• 任意の測度保存的 $ \mathbb{Z}^{k+l} $-作用および $ \mu(A) > 0 $ に対して、$ h = \pm 1 $ のとき、集合 $ \{ \mathbb{d} \in D_h : \mu(A \cap T^{-\mathbb{d}}A) \geq \mu^2(A) - \epsilon \} $ は $ D_h $ において正の下相対密度をもつ。
• 任意の集合 $ E \subset \mathbb{Z}^{k+l} $ に対して $ d^*(E) > 0 $ が成り立つとき、$ \{ p \leq N : \text{ベクトル} \, ((p\pm1)^{\alpha_i}, [(p\pm1)^{\beta_j}]) \in E - E \} $ の下密度は、$ d^*(E) $ のみに依存する正の定数によって下から抑えられる。
• このような素数の正規化された個数の極小極限は、$ \liminf_{N \to \infty} \frac{1}{\pi(N)} \left| \{ p \leq N : \cdots \in E - E \} \right| \geq d^*(E)^2 $ を満たす。
• 指数 $ \alpha_i $ が正の整数で、$ \beta_j $ が正の非整数であっても、この結果は成り立ち、古典的な素数上での多項式的列に関する結果を拡張する。
• 関数 $ \xi_j(p) $ の線形結合に対しても、その有理数線形結合がハーディー場 $ H $ に属する限り、この手法は適用可能である。