[論文レビュー] Uniform domains with rectifiable boundaries and harmonic measure

Mihalis Mourgoglou|arXiv (Cornell University)|May 22, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ℝ^{d+1} 内の均一領域（d ≥ 2）において、下からのアーフォルス＝ダヴィッド d-正則かつ d-可解な境界を持つ場合、局所的に有限な Hausdorff 測度を前提すれば、d次元 Hausdorff 測度が調和測度に関して絶対連続であることを示している。この結果は、長年の未解決問題である『均一性と可解性が、この絶対連続性を保証するか』という問いに答え、完全なアーフォルス＝ダヴィッド正則性がなくても成立することを示している。

ABSTRACT

We assume that $Ω\subset \mathbb{R}^{d+1}$, $d \geq 2$, is a uniform domain with lower $d$-Ahlfors-David regular and $d$-rectifiable boundary. We show that if $\mathcal{H}^d|_{\partial Ω}$ is locally finite, then the Hausdorff measure $\mathcal{H}^d$ is absolutely continuous with respect to the harmonic measure $ω$ on $\partial Ω$, apart from a set of $\mathcal{H}^d$-measure zero.

研究の動機と目的

• 均一領域で境界が可解かつ下からのアーフォルス＝ダヴィッド d-正則である場合、Hausdorff 測度が調和測度に関して絶対連続であるかどうかを特定すること。
• Hausdorff 測度の局所的有限性と幾何的正則性（均一性、可解性）が H^d ≪ ω を満たすかどうかという未解決問題を解明すること。
• 下からのアーフォルス＝ダヴィッド正則性の条件が鋭く、この正則性を弱めると絶対連続性の結論が失われるべきでないことを示すこと。
• s ∈ (d−1, d) に対して、境界が s-正則である場合に H^d ≪ ω が成り立たない反例を構成することで、d-正則性仮定の鋭さを示すこと。

提案手法

• Whitney立方体分割を用いて、幾何的構造と境界構造が制御された内部部分領域 Ω′_E′ を構成する。
• 最大原理を適用して、部分領域上の調和測度 ω と ω⁻ を比較し、絶対連続性の性質を移行させる。
• Badger [8] の結果（H^d|_∂Ω ≪ ω が NTA 領域で H^d が局所的に有限である場合に成り立つ）を、均一領域へと拡張する。
• 均一領域で d-可解な境界を持つ場合、NTA であることを用いて、既知の A_∞-同値性結果を適用可能にする。
• 上半空間内にアーフォルス＝ダヴィッド s-正則集合（s < d）を用いた反例を構成し、d-正則性が欠落すると H^d ≪ ω が成り立たないことを示す。
• Bourgain の結果（下からの正則性集合で正の調和測度が存在すること）と調和測度の倍加性を用いて、ω(R^d) = 0 を示し、H^d が ω に関して絶対連続でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 均一領域で境界が d-可解である場合、H^d が境界上で局所的に有限であれば、H^d ≪ ω が成り立つか？
• RQ2 このような領域で H^d ≪ ω が成り立つために、下からのアーフォルス＝ダヴィッド d-正則性が必要か？
• RQ3 完全なアーフォルス＝ダヴィッド正則性がなくても、H^d が ω に関して絶対連続であることを示せるか？
• RQ4 境界が s < d に対してのみ s-正則である場合、絶対連続性はどのように変化するか？
• RQ5 このような領域において、H^d-測度が正である集合で調和測度が正であるか？

主な発見

• 均一領域で境界が d-可解かつ下からのアーフォルス＝ダヴィッド d-正則である場合、H^d|_∂Ω が局所的に有限であれば、∂Ω 上で H^d-a.e. において H^d ≪ ω が成り立つ。
• 下からのアーフォルス＝ダヴィッド d-正則性の仮定は鋭い：各 s ∈ (d−1, d) に対して、∂Ω が s-正則で、Ω が均一的かつ d-可解であるが H^d ≪ ω が成り立たない反例が存在する。
• 反例領域では ∂Ω = R^d ∪ E であり、E は s-正則である。このとき ω(R^d) = 0 であるため、H^d-測度が正である任意の集合 F ⊂ R^d に対して ω(F) = 0 である。
• 構成された反例において調和測度 ω は倍加性を満たし、ω-a.e. の x ∈ R^d に対して r → 0 のとき ω(B(x,r)) → 0 であるため、ω(R^d) = 0 が確認される。
• この結果は、均一性と可解性だけでは下からの正則性がなければ H^d ≪ ω が成り立たないことを確認しており、d-正則性が本質的であることを示している。
• 証明は、最大原理を介して部分領域から絶対連続性を移行させ、NTA 領域で H^d が局所的に有限である場合の既知の結果に依存している。