[論文レビュー] Uniform energy bound and asymptotics for the Maxwell field on a slowly rotating Kerr black hole exterior

Lars Andersson, Pieter Blue|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、非常にゆっくり回転するカー・ブラックホール外部におけるマクスウェル場に対して、一様なエネルギー束縛を確立し、漸近的にクーロン解への収束を証明する。電荷を有する（クーロンの）および電荷を有さない部分に分解することで、Fackerell-Ipser方程式のフーリエ・スペクトル解析を用いて、閉じ込められた光線の周辺で損失なしに3/2階微分を制御する、改良されたモラウェーツ推定式を導出する。

ABSTRACT

We consider the Maxwell equation in the exterior of a very slowly rotating Kerr black hole. For this system, we prove the boundedness of a positive definite energy on each hypersurface of constant $t$. We also prove the convergence of each solution to a stationary Coulomb solution. We separate a general solution into the charged, Coulomb part and the uncharged part. Convergence to the Coulomb solutions follows from the fact that the uncharged part satisfies a Morawetz estimate, i.e. that a spatially localised energy density is integrable in time. For the unchanged part, we study both the full Maxwell equation and the Fackerell-Ipser equation for one component. To treat the Fackerell-Ipser equation, we use a Fourier transform in $t$. For the Fackerell-Ipser equation, we prove a refined Morawetz estimate that controls 3/2 derivatives with no loss near the orbiting null geodesics.

研究の動機と目的

• 非常にゆっくり回転するカー・ブラックホールの外部におけるマクスウェル場に対して、一様で正定値なエネルギー束縛を確立すること。
• マクスウェル方程式の一般解が時間の経過とともに定常的なクーロン解に収束することを証明すること。
• Fackerell-Ipser方程式を用いてマクスウェル場の電荷を有さない部分を解析し、局所化されたエネルギーの時間積分可能性を保証するモラウェーツ型推定式を導出すること。
• 閉じ込められた光線の周辺における場の振る舞いを制御すること、特にFackerell-Ipser方程式に複素ポテンシャルが存在する場合にも有効であること。
• 光子球面付近の臨界領域で、損失なしに3/2階微分を制御する、改良されたモラウェーツ推定式を構築すること。

提案手法

• 電荷保存則とコhomologicalな考察を用いて、一般のマクスウェル場解を電荷を有するクーロン部分と電荷を有さない部分に分解する。
• ベクトル場法を適用して、マクスウェル場のほぼエネルギー保存則を導出し、定数$t$超曲面上での一様なエネルギー束縛を導く。
• 電荷を有さないマクスウェル場の簡略化モデルとしてFackerell-Ipser方程式を用いる。これは複素結合$\Upsilon = (r - ia\cos\theta)\sqrt{2}(\mathbf{E} + i\mathbf{B}) \cdot \hat{\mathbf{R}}$から導かれる。
• Fackerell-Ipser方程式に時間のフーリエ変換を適用し、問題をスペクトル解析の枠組みに変換することで、時間平均エネルギー減衰を研究する。
• Fackerell-Ipser方程式のスペクトル変換に対して、改良されたモラウェーツ推定式を導出し、$r = 3M$付近の局所的領域で$|k|_{\epsilon_{\partial_t^2}}^{3/2} |\tilde{\Upsilon}|^2$を制御する。閉じ込められた光線の周辺で損失がないことを保証する。
• $|a|/M$の小ささに依存するブートストラップ法を用いて誤差項を制御し、推定式の有効性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非常にゆっくり回転するカー・ブラックホールの外部におけるマクスウェル場に対して、一様で正定値なエネルギー束縛を確立できるか？
• RQ2 この時空上でのマクスウェル方程式の解は、漸近的に定常的なクーロン解に近づくか？
• RQ3 Fackerell-Ipser方程式に複素ポテンシャルが存在する場合でも、マクスウェル場の電荷を有さない部分に対してモラウェーツ型推定式を導出できるか？
• RQ4 光子球面付近、すなわち閉じ込められた光線が存在する領域で、電荷を有さないマクスウェル場のエネルギー減衰を制御できるか？
• RQ5 光子球面に近い臨界領域$r \approx 3M$でも、損失なしに3/2階微分を制御する改良されたモラウェーツ推定式を構築できるか？

主な発見

• 非常にゆっくり回転するカー・ブラックホールの外部におけるマクスウェル場に対して、すべての$t \geq 0$に対して有効な、一様で正定値なエネルギー束縛$E[\textrm{F}](t)$が確立された。
• すべてのマクスウェル方程式の解は、電荷を有さない部分の局所化エネルギーの積分可能性のおかげで、$t \to \infty$のとき定常的なクーロン解に収束する。
• マクスウェル場の電荷を有さない部分はモラウェーツ推定式を満たし、空間的に局所化されたエネルギー密度が時間に関して積分可能であることを示唆する。
• Fackerell-Ipser方程式のスペクトル変換に対して、改良されたモラウェーツ推定式が証明され、$r = 3M$付近の領域で$|k|_{\epsilon_{\partial_t^2}}^{3/2} |\tilde{\Upsilon}|^2$が制御され、閉じ込められた光線の周辺で損失がない。
• 推定式は小パラメータ$|a|/M$に関して一様であり、定義2.3で定義されたように$|a|/M$が十分に小さいと仮定することで成立する。
• 最終的な推定式は、主定理を示す：一様なエネルギー束縛（定理1.1）およびクーロン解への漸近的収束（定理1.3）