[論文レビュー] Uniform estimates for Stokes equations in a domain with a small hole and applications in homogenization problems

Yong Lu|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、穴が縮小する領域におけるストークス方程式の解について、一様な W^{1,p} 評価を確立し、d' < p < d（d=2 のときは p=2）であるときかつそのときに限り、このような評価が穴の大きさに依存せずに成り立つことを証明している。この結果により、穿孔領域における一様な制限作用素と定量的なボゴフスキー型作用素の構成が可能となり、流体の均質化問題において重要である。

ABSTRACT

We consider the Dirichlet problem of the Stokes equations in a domain with a shrinking hole in $\mathbb{R}^d, \ d\geq 2$. A typical observation is that, the Lipschitz norm of the domain goes to infinity as the size of the hole goes to zero. Thus, if $p eq 2$, the classical results indicate that the $W^{1,p}$ estimate of the solution may go to infinity as the size of the hole tends to zero. In this paper, we give a complete description for the uniform $W^{1,p}$ estimates of the solution for all $1

研究の動機と目的

• 穴の大きさに依存しない、穴が縮小する領域におけるストークス方程式の均一な W^{1,p} 評価を確立すること。
• 特に p ≠ 2 のとき、穴が小さくなるに従い古典的 W^{1,p} 評価が破綻する理由を解明すること。
• 均一な評価を用いて穿孔領域における一様な制限作用素を構成すること。
• 穿孔領域におけるボゴフスキー型作用素を構成し、その作用素ノルムの定量的評価を得ること。
• 高対比性またはマイクロ構造を有する媒体を含む流体力学における均質化の定量的枠組みを提供すること。

提案手法

• 穴の大きさ ε → 0 の極限における解の挙動を解析することで、穴が小さい領域におけるストークス方程式の均一な W^{1,p} 評価を導出すること。
• 変数変換を用いて、穴が縮小する領域における問題を固定領域問題に変換し、均一な評価を可能にする。
• コンパクトネスの議論と背理法を用いて、均一な評価が成り立つ p の範囲を同定すること。
• 発散なしの構造と W^{1,p} の制御を保つような、関数を全領域から穿孔領域へ写像する一般化された制限作用素 R_ε を構成すること。
• 穿孔領域におけるボゴフスキー型作用素を、ゼロ拡張、古典的ボゴフスキー作用素、および制限作用素 R_ε の合成として定義すること。
• ボゴフスキー型作用素の作用素ノルムに対する定量的バインドを確立し、ε と p への依存性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストークス方程式の解について、穴が縮小する領域において、どの p ∈ (1, ∞) に対して一様な W^{1,p} 評価が成り立つか？
• RQ2 特に p ≠ 2 のとき、穴の大きさ ε → 0 の極限において、なぜ古典的 W^{1,p} 評価が破綻するのか？
• RQ3 穴の大きさ ε に依存しない、発散なしの条件を保ち、W^{1,p} 範囲が一様な制限作用素は穿孔領域に構成可能か？
• RQ4 穿孔領域において、作用素ノルムの定量的評価が得られるボゴフスキー型作用素を構成可能か？
• RQ5 ボゴフスキー型作用素の作用素ノルムは、穴の大きさ ε と指数 p に対してどのように依存するか？

主な発見

• 穴が小さい領域におけるストークス方程式の均一な W^{1,p} 評価は、d' < p < d（d=2 のときは p=2）であるときかつそのときに限り成り立つ。
• p ∈ (d', d) のとき、ε → 0 の極限においても、解の W^{1,p} ノルムは一様に有界のまま保たれるが、領域のリプシッツ定数は発散する。
• 3次元において p ∈ (3/2, 3) のとき、構成された制限作用素 R_ε は、‖∇R_ε(u)‖_{L^p(D_ε)} ≤ C(‖∇u‖_{L^p(D)} + ε^{(3−p)α−3}‖u‖_{L^p(D)}) を満たす。ここで α ∈ (0,1) である。
• 構成されたボゴフスキー型作用素 𝒫_ε は、f ∈ L^p_0(D_ε) および p ∈ (3/2, 3) のとき、‖𝒫_ε(f)‖_{W^{1,p}} ≤ C(1 + ε^{((3−p)α−3)/p})‖f‖_{L^p} を満たす。
• ボゴフスキー型作用素の作用素ノルムは ε と p に依存し、p ≤ 3 のとき ε → 0 で発散するが、p ∈ (3/2, 3) の範囲では制御可能である。
• 本結果は、小さな穴を有する穿孔領域を含む流体力学における均質化の定量的基盤を提供する。