[論文レビュー] Uniform exponential stability of Galerkin approximations for damped wave systems

Herbert Egger, Thomas Kugler|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、減衰波動系のガラーキン近似に対して、最小限の正則性仮定のもとで、半離散および完全離散スキームが物理的エネルギーの指数的減衰を保存することを示すことにより、一様指数的安定性を確立する。解析は、修正されたエネルギー推定と混合有限要素空間の一般化された適合条件に依拠し、空間および時間の離散化パラメータに対して一様な安定性を保証する。

ABSTRACT

We consider the numerical approximation of linear damped wave systems by Galerkin approximations in space and appropriate time-stepping schemes. Based on a dissipation estimate for a modified energy, we prove exponential decay of the physical energy on the continuous level provided that the damping is effective everywhere in the domain. The methods of proof allow us to analyze also a class of Galerkin approximations based on a mixed variational formulation of the problem. Uniform exponential stability can be guaranteed for these approximations under a general compatibility condition on the discretization spaces. As a particular example, we discuss the discretization by mixed finite element methods for which we obtain convergence and uniform error estimates under minimal regularity assumptions. We also prove unconditional and uniform exponential stability for the time discretization by certain one-step methods. The validity of the theoretical results as well as the necessity of some of the conditions required for our analysis are demonstrated in numerical tests.

研究の動機と目的

• 減衰および解の正則性に最小限の仮定を置いたもとで、減衰波動系のガラーキン近似の一様指数的安定性を確立すること。
• 空間および時間の離散化を含む半離散および完全離散スキームを分析し、エネルギー減衰特性を保存すること。
• 減衰波動系に適用した混合有限要素法における一様誤差推定および安定性バインドを導出すること。
• メッシュサイズおよび時間刻みに対して一様に成り立つ安定性および収束結果を示すこと。
• 数値的実験を通じて理論的結果を検証し、主要な解析的条件の必要性を確認すること。

提案手法

• 連続問題に対する散逸推定を導出するため、修正されたエネルギー関数を用い、すべてのエネルギー $ E^k(t) $（$ k \geq 0 $）が指数的に減衰することを証明する。
• ガラーキン近似空間に一般化された適合条件を適用し、適切な定式化および半離散エネルギーの一様指数的減衰を保証する。
• 空間離散化に混合有限要素法を用い、最小限の正則性仮定のもとで収束性および一様誤差推定を導出する。
• 1段階時間積分スキーム（例：クランク・ニコルソン法、後退オイラー法）を用い、完全離散系に対して無条件かつ一様指数的安定性を証明する。
• 離散エネルギー推定および離散版のヤングの不等式に依拠し、時間微分をバインドし、離散エネルギーの時間発展における成長を制御する。
• 離散エネルギーノルムの等価性を確立し、帰納法を用いて完全離散設定における修正エネルギーの一様指数的減衰を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 減衰パラメータの正則性に最小限の仮定を置いたもとで、減衰波動系のガラーキン近似に対して一様指数的安定性を保証できるか？
• RQ2 速度および圧力の有限要素空間の間にどのような適合条件が、離散エネルギーの一様指数的減衰を保証するか？
• RQ3 1段階時間積分器を用いた完全離散スキームが、時間刻みおよびメッシュサイズに依存せずに指数的安定性を保存するか？
• RQ4 理論的誤差推定および安定性バインドが、減衰パラメータの下限および上限にどのように依存するか？
• RQ5 数値実験によって、安定性および収束の理論的条件が必要であることが確認されるか？

主な発見

• 減衰 $ a(x) $ が一様に正であれば、連続的減衰波動系はすべてのエネルギー $ E^k(t) $（$ k \geq 0 $）に対して一様指数的減衰を示す。物理的エネルギー $ E^0(t) $ も含む。
• ガラーキン近似空間に一般化された適合条件を適用することで、適切な定式化およびすべての $ k \geq 0 $ に対して半離散エネルギーの一様指数的減衰が保証される。
• 混合有限要素法により、最小限の正則性仮定のもとで一様誤差推定および完全離散スキームに対する無条件かつ一様指数的安定性が得られる。
• ある種の1段階時間積分法（例：クランク・ニコルソン法、後退オイラー法）による時間離散化は、時間刻みの大きさに依存せず、一様指数的安定性を保つ。
• 離散エネルギー減衰を証明するため、修正エネルギー関数 $ E_{h,\varepsilon}^{1,n} $ を構成し、減衰率 $ \varepsilon_0 > 0 $ を得る。これにより $ E_{h,\varepsilon}^{1,n} \leq e^{-\varepsilon\tau/3} E_{h,\varepsilon}^{1,n-1} $ が成り立ち、指数的減衰が保証される。
• 数値的実験により、理論的条件の必要性が確認され、解析で予測された一様安定性および収束率が妥当であることが検証された。