[論文レビュー] Uniform Hyperbolicity of the Graphs of Curves

Tarik Aougab|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、すべての曲面 $S_{g,p}$ に対して、曲線グラフ $χ_1(S_{g,p})$ の一様双曲的性を確立し、双曲的定数 $k$ が genus $g$ や穴の数 $p$ に依存しないことを証明する。主な手法は、曲線複体距離と曲面の複雑さを用いた、曲線間の交差数の下界を示すことであり、これにより双曲的性が一様に制御され、同じトレイントラックの頂点サイクル間の曲線複体距離の一様有界性およびテイヒミュラー射影写像の一様リプシッツ定数が導かれる。

ABSTRACT

Let $\mathcal{C}(S_{g,p})$ denote the curve complex of the closed orientable surface of genus $g$ with $p$ punctures. Masur-Minksy and subsequently Bowditch showed that $\mathcal{C}(S_{g,p})$ is $δ$-hyperbolic for some $δ=δ(g,p)$. In this paper, we show that there exists some $δ>0$ independent of $g,p$ such that the curve graph $\mathcal{C}_{1}(S_{g,p})$ is $δ$-hyperbolic. Furthermore, we use the main tool in the proof of this theorem to show uniform boundedness of two other quantities which a priori grow with $g$ and $p$: the curve complex distance between two vertex cycles of the same train track, and the Lipschitz constants of the map from Teichmüller space to $\mathcal{C}(S)$ sending a Riemann surface to the curve(s) of shortest extremal length.

研究の動機と目的

• すべての曲面 $S_{g,p}$ に対して、genus $g$ や穴の数 $p$ に依存しない、曲線グラフ $χ_1(S_{g,p})$ の一様双曲的性を確立すること。
• マスールとミンスキーが提起した、同じトレイントラックの頂点サイクル間の曲線複体距離が、すべての曲面において一様に有界であるかどうかという問いを解決すること。
• リーマン面からその最短極値長曲線を割り当てる写像による、テイヒミュラー空間から曲線複体への写像のリプシッツ定数が、すべての曲面 $S_{g,p}$ に対して一様に有界であることを証明すること。

提案手法

• 曲線複体距離 $d_{\mathcal{C}}(\alpha,\beta)$ と曲面の複雑さ $\xi(S)$ を用いて、2つの曲線 $\alpha, \beta$ 間の幾何的交差数 $i(\alpha,\beta)$ に対する下界を確立し、任意の $\lambda \in (0,1)$ に対して $i(\alpha,\beta) \geq \left( \frac{\xi^{\lambda}}{f(\xi)} \right)^{k-2}$ を示す。
• この交差数の下限を用いて、十分に複雑な曲面（$\xi(S) > N$）では、曲線グラフ内で距離 $\geq 4$ の2曲線は、単一のトレイントラックの頂点サイクルが取りうる最大交差数を超える必要があることを示す。
• 交差数の下限を用いて、テイヒミュラー射影写像 $\Phi$ の像の直径を制御し、$d_{\mathrm{Teich}}(x,y) \leq 1$ のとき $\mathrm{diam}_{\mathcal{C}}(\Phi(x) \cup \Phi(y)) \leq c$ が成り立ち、$c$ は $S_{g,p}$ に依存しないことを示す。
• 極値長を用いたテイヒミュラー距離のケルコフの公式を用いて、比 $\mathrm{ext}_y(\gamma)/\mathrm{ext}_x(\gamma)$ を評価し、これに加えて極値長の上限を組み合わせることで、交差数の上界を一様に得る。
• 交差数に関する対数的上界と一様な交差数の下限を組み合わせ、曲線複体距離の上界を一様に得る。
• 一様双曲的性の結果を用いて、十分に複雑な曲面では、同じトレイントラックの頂点サイクル間の曲線複体距離が3以下であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線グラフ $\mathcal{C}_1(S_{g,p})$ の双曲的定数 $\delta$ は、genus $g$ や穴の数 $p$ に依存せずに選べるか？
• RQ2 すべての曲面 $S_{g,p}$ に対して、同じトレイントラックの任意の2頂点サイクル間の曲線複体距離に対して、一様な上界 $B$ が存在するか？
• RQ3 テイヒミュラー射影写像 $\Phi: \mathrm{Teich}(S) \to \mathcal{C}(S)$ のリプシッツ定数は、すべての曲面 $S_{g,p}$ に対して一様に有界か？

主な発見

• すべての $g$ と $p$ に対して、曲線グラフ $\mathcal{C}_1(S_{g,p})$ が $k$-双曲的であるような、普遍的な定数 $k > 0$ が存在する。
• 複雑さ $\xi(S) > \max(k, N(3/4))$ の曲面では、同じトレイントラックの任意の2頂点サイクル間の曲線複体距離は3以下である。
• 曲線 $\alpha, \beta$ が $d_{\mathcal{C}}(\alpha, \beta) \geq k$ を満たすとき、任意の $\lambda \in (0,1)$ に対して $i(\alpha, \beta) \geq \left( \frac{\xi^{\lambda}}{f(\xi)} \right)^{k-2}$ が成り立ち、ここで $f(\xi) = O(\log_2(\xi))$ である。
• 任意の単位テイヒミュラー測地線セグメント上でのテイヒミュラー射影写像 $\Phi$ の像の直径は、$g$ や $p$ に依存しない定数 $c$ で一様に有界であり、これは一様なリプシッツ連続性を示唆する。
• 十分に複雑な曲面では、$d_{\mathrm{Teich}}(x,y) \leq 1$ を満たす2点 $x,y$ の曲線複体距離は4以下であり、低複雑度の曲面では一様な定数で有界である。
• テイヒミュラー射影写像のリプシッツ定数 $c$ は、$\max\left(4, \max_{\xi(S) < k} f(\lceil eE(S) \rceil) \right)$ で有界であり、ここで $E(S) = O(\xi \log \xi)$ であるため、すべての曲面にわたって一様性が保証される。