[論文レビュー] Uniform in Time Error Estimates for a Finite Element Method Applied to a Downscaling Data Assimilation Algorithm for the Navier--Stokes Equations

García-Archilla, Julia Novo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 33被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、2次元および3次元のナビエ＝ストークス方程式に対する連続的ダウンスケーリングデータ同調アルゴリズムに適用された有限要素法について、時間に一様な誤差推定値を提示する。混合有限要素法を用い、勾配除法安定化を適用するかしないかにかかわらず、最適収束率を達成し、粘度の逆数の冪に依存しない境界を保証することで、粗いスケールの測定値からの参照解の安定した長期的近似が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we analyze a finite element method applied to a continuous downscaling data assimilation algorithm for the numerical approximation of the two- and three-dimensional Navier--Stokes equations corresponding to given measurements on a coarse spatial scale. For representing the coarse mesh measurements we consider different types of interpolation operators including a Lagrange interpolant. We obtain uniform-in-time estimates for the error between a finite element approximation and the reference solution corresponding to the coarse mesh measurements. We consider both the case of a plain Galerkin method and a Galerkin method with grad-div stabilization. For the stabilized method we prove error bounds in which the constants do not depend on inverse powers of the viscosity. Some numerical experiments illustrate the theoretical results.

研究の動機と目的

• ナビエ＝ストークス方程式のダウンスケーリングデータ同調アルゴリズムの有限要素近似について、時間に一様な誤差境界を確立すること。
• 現実的な有限要素の仮定の下で、ガレルキン法が勾配除法安定化を施すか否かにかかわらず、収束挙動を分析すること。
• 誤差境界が粘度パラメータ ν にどのように依存するかを、特に低粘度（高レーノルズ数）領域で調査すること。
• ラグランジュ補間子を用いた粗いスケールの測定値において収束が保たれる条件を特定すること。
• 先行研究で仮定されていた nudging パラメータ β に対する制限的な上界を排除し、解析のロバスト性を向上させること。

提案手法

• 粗いスケールの補間作用素 IH を用いた nudging 項 −β(IH(v) − IH(u)) をナビエ＝ストークス方程式に加えることにより、連続的ダウンスケーリングデータ同調アルゴリズムを定式化する。
• 速度と圧力の近似に、インフラ・スタブルな混合有限要素を用いた空間方向の半離散有限要素法を適用する。
• 2つのバリエーションを検討する：標準ガレルキン法と勾配除法安定化を施したガレルキン法。後者は質量保存性と安定性を向上させる。
• 粗いスケールの観測値を表すために補間作用素（ラグランジュ補間子を含む）を用い、H は粗いメッシュのサイズを表す。
• エネルギー推定値を導出し、グロンウォール型不等式を適用して、有限要素解と参照解との間の時間に一様な誤差境界を獲得する。
• 数値実験を実施し、理論的収束率の妥当性を検証するとともに、β、ν、H/h、および安定化の効果が誤差挙動に与える影響を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナビエ＝ストークス方程式のダウンスケーリングデータ同調アルゴリズムの有限要素近似について、時間に一様な誤差推定値を導出可能か？
• RQ2 勾配除法安定化は、特に低粘度領域において誤差境界が粘度 ν にどのように依存するかにどのような影響を与えるか？
• RQ3 ラグランジュ補間子を用いる場合、収束を保証するために粗いメッシュと細かいメッシュの比 H/h が果たす役割は何か？
• RQ4 先行研究で仮定されていた nudging パラメータ β に対する上界を課さない場合、解析は依然として有効か？
• RQ5 ν、β、メッシュの細分化を変化させた状況下で、理論的収束率が数値実験によって確認されるか？

主な発見

• 勾配除法安定化を施さないガレルキン法では、滑らかな解に対して最適収束率 O(h^3) を達成し、有限要素空間の最良近似誤差と一致する。
• 勾配除法安定化を施した場合、誤差境界は粘度 ν の逆数の冪に依存せず、高レーノルズ数流れにおいて極めて重要である。
• 数値実験により、ν が小さい場合、安定化法では ν に依存しない O(h^2) の収束が達成される一方、非安定化法ではテストした h 値では収束しないことが確認された。
• ラグランジュ補間子を用いる場合、H/h が有界であることが収束のための必要条件である。H を固定したまま h→0 に近づけると、収束しない挙動が生じる。
• 大きな nudging パラメータ β は初期誤差の減衰を加速することができ、解析により時間に依存する ∥IH(eh)∥₀ / ∥eh∥₀ の下界がその挙動を説明している。
• 先行研究で仮定されていた β に対する制限的な上界を解析から排除し、アルゴリズム設計における柔軟性を高めた。