[論文レビュー] Uniform Kernelization Complexity of Hitting Forbidden Minors

Archontia C. Giannopoulou, Bart M. P. Jansen+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$φ$-Minor-Free Deletionのカーネル化複雑度を解明し、Treewidth-$\eta$ Deletionが一様多項式カーネルをもたない（NP $\subseteq$ coNP/poly でない限り）一方で、Treedepth-$\eta$ Deletionはサイズ $\mathcal{O}(k^6)$ の一様多項式カーネルをもつことを証明した。これは、木深さ分解の明示的構造的洞察と、非プロトリュージョンに基づかないカーネル化アルゴリズムによって達成された。

ABSTRACT

The F-Minor-Free Deletion problem asks, for a fixed set F and an input consisting of a graph G and integer k, whether k vertices can be removed from G such that the resulting graph does not contain any member of F as a minor. This paper analyzes to what extent provably effective and efficient preprocessing is possible for F-Minor-Free Deletion. Fomin et al. (FOCS 2012) showed that the special case Planar F-Deletion (when F contains at least one planar graph) has a kernel of size f(F) * k^{g(F)} for some functions f and g. The degree g of the polynomial grows very quickly; it is not even known to be computable. Fomin et al. left open whether Planar F-Deletion has kernels whose size is uniformly polynomial, i.e., of the form f(F) * k^c for some universal constant c that does not depend on F. Our results in this paper are twofold. (1) We prove that some Planar F-Deletion problems do not have uniformly polynomial kernels (unless NP is in coNP/poly). In particular, we prove that Treewidth-Eta Deletion does not have a kernel with O(k^{eta/4} - eps) vertices for any eps > 0, unless NP is in coNP/poly. In fact, we even prove the kernelization lower bound for the larger parameter vertex cover number. This resolves an open problem of Cygan et al. (IPEC 2011). It is a natural question whether further restrictions on F lead to uniformly polynomial kernels. However, we prove that even when F contains a path, the degree of the polynomial must, in general, depend on the set F. (2) A canonical F-Minor-Free Deletion problem when F contains a path is Treedepth-eta Deletion: can k vertices be removed to obtain a graph of treedepth at most eta? We prove that Treedepth-eta Deletion admits uniformly polynomial kernels with O(k^6) vertices for every fixed eta. In order to develop the kernelization we prove several new results about the structure of optimal treedepth-decompositions.

研究の動機と目的

• すべての平面的 $\mathcal{F}$-Minor-Free Deletion 問題が一様多項式カーネルをもつかどうかを特定すること。
• カーネル化の文脈において、木幅と木深さパラメータの構造的差異を調査すること。
• Treewidth-$\eta$ Deletionのカーネル化複雑度に関する未解決問題を解消すること。
• Treedepth-$\eta$ Deletionのための構成的で、非プロトリュージョンに基づかないカーネル化アルゴリズムを開発すること。

提案手法

• 既知の困難性仮定からの還元により、Treewidth-$\eta$ Deletionが一様多項式カーネルをもたないことを証明した。
• 最適な木深さ分解の構造的性質に基づいた、Treedepth-$\eta$ Deletionのための新規カーネル化フレームワークを導入した。
• 分解木の高さと葉構造に依存して、カーネル内の成分のサイズを有界化するための、分岐数が有界な還元戦略を用いた。
• 頂点被覆、フィードバック頂点集合、および成分木の有界性を組み合わせることで、カーネルサイズが $\mathcal{O}(k^6)$ であることを確立した。
• 「プロトリュージョンマシンリー」に依存しないように、完全に明示的なカーネル化アルゴリズムを構築した。
• 障害集合とカーネルサイズの関係を活用して、カーネル複雑度の上界と下界を導出した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての平面的 $\mathcal{F}$-Minor-Free Deletion 問題は、一様多項式カーネル（サイズ $f(\mathcal{F}) \cdot k^c$、$c$ は普遍定数）をもつか？
• RQ2 マイナー自由な削除問題において、木幅と木深さパラメータのカーネル化複雑度に根本的な差異があるか？
• RQ3 構成的で、非プロトリュージョンに基づかないカーネル化アルゴリズムは、Treedepth-$\eta$ Deletionに対して一様多項式カーネルサイズを達成できるか？
• RQ4 マイナー閉じたグラフ族において、障害集合のサイズとカーネルサイズの関係は何か？

主な発見

• Treewidth-$\eta$ Deletionは、任意の $\epsilon > 0$ に対して、サイズ $\mathcal{O}(k^{\eta/4 - \epsilon})$ のカーネルをもたない（NP $\subseteq$ coNP/poly でない限り）。
• 頂点被覆番号でパラメータ化しても、Treewidth-$\eta$ Deletionは同じ仮定のもとで一様多項式カーネルをもたない。
• Treedepth-$\eta$ Deletionは、サイズ $\mathcal{O}(k^6)$ の一様多項式カーネルをもつ。明示的上限は $2^{\mathcal{O}(\eta^2)} \cdot k^6$ である。
• カーネル化アルゴリズムは完全に構成的であり、先行研究で使われた非構成的「プロトリュージョンマシンリー」に依存しない。
• $k$ 削除で木深さ $\eta$ に還元可能なグラフの障害集合のサイズは、$2^{\mathcal{O}(\eta^2)} \cdot k^6$ で有界であり、カーネルサイズの上界と一致する。
• 結果として、マイナー閉じたグラフ族におけるカーネル化複雑度と障害集合サイズの緊密な関係が確立された。