[論文レビュー] Uniform Manin-Mumford for a family of genus 2 curves

Laura DeMarco, Holly Krieger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、P1(Q) 上のアラケロフ＝ジャンプ交叉理論を用いた、新規の定量的均等分布的手法により、双曲的でもあり双有理的でもある genus 2 曲線における捩れ点の数の均一な上限を確立する。主な結果は、C 上のこのような曲線におけるアーベル・ジャコビ写像の像における共通捩れ点の数の均一な上限であり、ボゴモロフ、フー、ツシンケルの予想を、2-捩れ点が最大重複を示すレジェンドル曲線の場合に解決する。

ABSTRACT

We introduce a general strategy for proving quantitative and uniform bounds on the number of common points of height zero for a pair of in-equivalent height functions on ℙ1(ℚ̄). We apply this strategy to prove a conjecture of Bogomolov, Fu, and Tschinkel asserting uniform bounds on the number of common torsion points of elliptic curves in the case of two Legendre curves over ℂ. As a consequence, we obtain two uniform bounds for a two-dimensional family of genus 2 curves: a uniform Manin-Mumford bound for the family over ℂ, and a uniform Bogomolov bound for the family over ℚ̄.

研究の動機と目的

• C 上の genus 2 曲線におけるアーベル・ジャコビ写像の像における捩れ点の数の均一な上限を確立すること。
• ボゴモロフ、フー、ツシンケルが提唱した、楕円曲線からの標準的射影の像における共通捩れ点の均一な上限に関する予想を解消すること。
• P1(Q) 上のアデール的メトライズド高さ関数の共通高さゼロ点の数を、体の定義や素数の選択に依存しない一般戦略として開発すること。
• レジェンドル族を主要な事例として用い、C 上（マニン＝ムーディー）およびQ 上（ボゴモロフ）の両方において、2次元族の genus 2 曲線に対して均一な上限を証明すること。

提案手法

• P1(Q) 上のアデール的メトライズドラインバンドル間のアラケロフ＝ジャンプ交叉ペアリングを用い、高さ関数間の距離を定量的に測定する。
• 問題を Q\{0,1} 上の楕円曲線族 Et: y² = x(x−1)(x−t) に還元し、ネロン＝タート canonical 高さによって誘導される高さ関数 ˆht を用いる。
• Q\{0,1} 内の t₁ ≠ t₂ に対して、ペアリング ˆht₁ · ˆht₂ に一様な下界 δ > 0 が存在することを証明し、高さ関数が互いに等しくならないことを保証する。
• 局所的高さ関数および v-進バーキヴィッチ空間上の均衡測度を用い、大きな高さ h(t₁,t₂) に対して、漸近的下界 ˆht₁ · ˆht₂ ≥ αh(t₁,t₂) − β を確立する。
• ファーヴレ＝リベラ＝レティエリおよびフィリの精密な定量的均等分布を用い、共通零点（すなわち共通捩れ点）の数 N(t₁,t₂) を含むペアリングの上界を導出する。
• 複素動的系の退化理論およびハイブリッド空間を用い、パrameter t が特異点 {0,1,∞} に近づく際のアーキメデス的寄与を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C 上の双曲的かつ双有理的でもある genus 2 曲線におけるアーベル・ジャコビ写像の像における捩れ点の数に、均一な上限を確立できるか？
• RQ2 ボゴモロフ、フー、ツシンケルの予想が、2-捩れ点が最大重複を示す場合（|π₁(E₁[2]) ∩ π₂(E₂[2])| = 3）に成り立つか？
• RQ3 体の定義や素数の選択に依存しない、P1(Q) 上の2つの異なるアデール的高さ関数の共通高さゼロ点の数を制限する一般戦略を開発できるか？
• RQ4 楕円曲線からの標準的射影の像における共通捩れ点の数と、高さ関数のアラケロフ＝ジャンプペアリングの間にはどのような関係があるか？

主な発見

• すべての滑らかで双有理的でもある C 上の genus 2 曲線 X と X 上のすべてのウェイエルシュタイン点 P に対して、|jP(X) ∩ J(X)tors| ≤ B を満たす均一な上限 B が存在する。この上限は有効的ではあるが、明示的には計算されていない。
• レジェンドル族 Et: y² = x(x−1)(x−t) に対して、C\{0,1} 内のすべての t₁ ≠ t₂ に対して |π(Etors_t₁) ∩ π(Etors_t₂)| に均一な上限が成り立ち、予想 1.3 の最大重複の場合を解決する。
• Q\{0,1} 内のすべての t₁ ≠ t₂ に対して、アラケロフ＝ジャンプペアリング ˆht₁ · ˆht₂ が一様な下界 δ > 0 を満たすことが保証され、高さ関数が等しくならないことが保証される。
• 大きな高さ h(t₁,t₂) に対して、漸近的下界 ˆht₁ · ˆht₂ ≥ αh(t₁,t₂) − β が確立され、ペアリングがパrameter の算術的複雑性と関連づけられる。
• 共通零点の数 N(t₁,t₂) を含むペアリングの上界として、ˆht₁ · ˆht₂ ≤ (ε + C(ε)/N(t₁,t₂))(h(t₁,t₂) + 1) が導出され、下界と組み合わせることで、N(t₁,t₂) に対する均一な上界が得られる。
• 結果は、Q 上の genus 2 曲線族に対して均一なボゴモロフ境界を示し、C 上の2次元族 L₂ ⊂ M₂ に対して均一なマニン＝ムーディー境界を示す。