[論文レビュー] Uniform openness of multiplication in Banach spaces $L_p$

Marek Balcerzak, Adam Majchrzycki+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$L_p$ および $\sigma$-有限測度空間における乗法写像の一様開性を確立し、$p \in [1,\infty)$ および $p$ と共役な $q$ に対して、双線形写像 $L_p \times L_q \to L_1$ が定量的下界 $\delta = \varepsilon^2/4$ を持つ一様開性を示している。さらに、この結果を列空間 $\ell_1 \times c_0 \to \ell_1$ に拡張し、$\delta = \varepsilon^2/16$ を用いて一様開性を示しており、バナッハ函数空間における乗法の開性に関する先行研究を強化している。

ABSTRACT

We show that multiplication from $L_p imes L_q$ to $L_1$ (for $p,q\in [1,\infty]$, $1/p+1/q=1$) is a uniformly open mapping. We also prove the uniform openness of the multiplication from $\ell_1 imes c_0$ to $\ell_1$. This strengthens the former results obtained by M. Balcerzak, A. Majchrzycki and A. Wachowicz.

研究の動機と目的

• 共役指数 $p, q$ に対して $1/p + 1/q = 1$ を満たす $L_p \times L_q \to L_1$ の乗法写像の一様開性を確立すること。
• 一様開性の結果を、特に $\ell_1 \times c_0 \to \ell_1$ の列空間設定に拡張すること。
• 一様開性モジュラスの定量的推定を提供し、従来の定性的開性結果を改善すること。
• 測度論的および和分可能性の技法を用いて、実数直線上の一様開性補題（補題1）を関数空間および列空間に一般化すること。
• 非反射的かつ非局所凸な設定、例えば $\ell_1 \times c_0$ に対しても一様開性の性質が成立することを示すこと。

提案手法

• 乗法の一様開性に関する鍵となる補題（補題1）を用い、区間に対して定量的下界 $\delta = rR/4$ を与える。
• 補題3を用いて、コンパクトな測度を持つ簡約関数で $L_1$ 関数を近似する。
• $L_p$ および $L_q$ 内の可算値関数を用いて、問題を有限次元または簡約関数のケースに還元する。
• 差 $h - fg$ の台に基づく場合分けを用いて、$f$ および $g$ の摂動 $u$ および $v$ を構成し、$uv$ が $fg$ の周囲の小さな $L_1$-球内にある任意の $h$ を近似するようにする。
• 補題6（非増加尾部を持つ級数）を用いて、$\ell_1 \times c_0$ のケースにおける摂動の $\ell_Σ$-ノルムを制御する。
• $h_n \neq f_n g_n$ となる点の集合が有限か無限かに基づく場合分けを実施し、それぞれのケースで適切に調整されたパrameter $r_k, R_k$ を用いて補題1を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共役指数 $p, q$ に対して $1/p + 1/q = 1$ を満たすとき、乗法写像 $L_p \times L_q \to L_1$ は一様開性を示すか？
• RQ2 $\ell_1 \times c_0 \to \ell_1$ における乗法の一様開性は、明示的な定量的モジュラスを用いて確立可能か？
• RQ3 測度論的および和分可能性の議論を用いて、$\mathbb{R}$ 上の一様開性から $L_p$ および列空間への一様開性の拡張は可能か？
• RQ4 一様開性モジュラスが $\varepsilon$ の関数、例えば $\varepsilon^2/4$ や $\varepsilon^2/16$ によって下から抑えられるか？
• RQ5 $c_0$ 構造が列空間ケースにおける一様開性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• $L_p \times L_q \to L_1$ の乗法写像は、$p \in [1,\infty)$ および $p$ と共役な $q$ に対して一様開であり、一様開性モジュラスが $\operatorname{B}_1(fg, \varepsilon^2/4) \subseteq \operatorname{B}_p(f,\varearepsilon) \cdot \operatorname{B}_q(g,\varearepsilon)$ を満たす。
• $\ell_1 \times c_0$ から $\ell_1$ への乗法の一様開性は、モジュラス $\delta = \varearepsilon^2/16$ を用いて確立されており、すなわち $\operatorname{B}_1(xy, \varepsilon^2/16) \subseteq \operatorname{B}_1(x,\varearepsilon) \cdot (\operatorname{B}_\infty(y,\varearepsilon) \cap c_0)$ が成り立つ。
• 証明は、差 $h - fg$ を有限および無限台の部分に分解し、それぞれのケースで適切に選んだパrameter $r_k, R_k$ を用いて補題1を適用することに依存する。
• $fg$ に近い $h$ に対して、$u \in \operatorname{B}_p(f,\varearepsilon)$ および $v \in \operatorname{B}_q(g,\varearepsilon)$ が構成され、$uv = h$ を満たす。$g \in c_0$ のとき、$v$ は $c_0$ に属する。
• 補題6の使用により、無限台ケースにおける和分可能性の制御が保証され、$\|v - y\|_\infty < \varearepsilon$ および $\|u - f\|_1 < \varearepsilon$ が保証される。
• 従来の開性結果は点 $(f,g)$ に依存するモジュラスに依存していたが、本結果は点に依存しない一様モジュラスを提供しており、バナッハ空間における双線形写像に関する文献における空白を埋めている。