[論文レビュー] Uniform product of A_{g,n}(V) for an orbifold model V and G-twisted Zhu algebra

Masahiko Miyamoto, K. TANABE|ArXiv.org|Dec 6, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、有限自己同型群 $G$ を持つ頂点 operator 代数 $V$ に対して、$g$-twisted Zhu 代数 $A_{g,n}(V)$ が $g$ の固有空間に依存することを解消する統一的な $G$-twisted Zhu 代数 $A_{G,n}(V)$ を導入する。すべての $g \in G$ に対して一様に還元される $*_{n}$ を用いた $V$ 上の一様な積を構成することで、$A_{g,n}(V)$ がすべて $A_{G,n}(V)$ に統合されることを示し、$V^G$ と有限次元半単純代数 ${\cal A}_\alpha(G,{\cal S})$ の間のシュール＝ウェイエル型双対性定理を確立する。これにより、すべての非可約 $g$-twisted $V$-加群が $V^G$-加群として完全可約であることが証明される。

ABSTRACT

Let V be a vertex operator algebra and G a finite automorphism group of V. For each g\in G and nonnegative rational number n\in {\mathbb Z}/|g|, a g-twisted Zhu algebra A_{g,n}(V) plays an important role in the theory of vertex operator algebras, but the given product in A_{g,n}(V) depends on the eigenspaces of g. We show that there is a uniform definition of products on V and we introduce a G-twisted Zhu algebra A_{G,n}(V) which covers all g-twisted Zhu algebras. Assume that V is simple and let {\cal S} be a finite set of inequivalent irreducible twisted V-modules which is closed under the action of G. There is a finite dimensional semisimple associative algebra {\cal A}_α(G,{\cal S}) for a suitable 2-cocycle naturally determined by the G-action on {\cal S}. We show that a duality theorem of Schur-Weyl type holds for the actions of {\cal A}_α(G,{\cal S}) and V^G on the direct sum of twisted V-modules in {\cal S} as an application of the theory of A_{G,n}(V). It follows as a natural consequence of the result that for any g\in G every irreducible g-twisted V-module is a completely reducible V^G-module.

研究の動機と目的

• $g$ の固有空間分解に依存しない一様な積 $*_{n}$ を $V$ 上に定義し、$A_{g,n}(V)$ における標準的な $g$-twisted 積を一貫して回復できるようにすることで、$g$-twisted Zhu 代数 $A_{g,n}(V)$ の固有空間への依存性を解消すること。
• すべての $A_{g,n}(V)$ を一様な積 $*_{n}$ を通じて統合する $G$-twisted Zhu 代数 $A_{G,n}(V) = V / \bigcap_{g \in G} O_{g,n}(V)$ を構成すること。
• $G$-安定な非可約 twisted $V$-加群の集合 ${\cal S}$ に関連する有限次元半単純代数 ${\cal A}_\alpha(G,{\cal S})$ と固定点代数 $V^G$ の間のシュール＝ウェイエル型双対性定理を確立すること。
• 中心に属さない任意の $g \in G$ に対しても、すべての非可約 $g$-twisted $V$-加群が $V^G$-加群として完全可約であることを証明すること。

提案手法

• 頂点作用素 $Y(u,z)v$ を用いた留数構成を用いて、$u$ と $v$ の重量にのみ依存する係数を持つ一様な積 $u *_{n} v$ を $V$ 上に定義する。$g$ の固有空間分解に依存しない。
• $G$-twisted Zhu 代数 $(A_{G,n}(V), *_{n})$ を $V / \bigcap_{g \in G} O_{g,n}(V)$ として定義し、$V$ が単純であるとき、$A_{G,n}(V) \cong \bigoplus_{g \in G} A_{g,n}(V)$ であることを示す。
• $G$-作用が自然に誘導する 2-コホモロジー $\alpha$ を用いて、$G$-安定な集合 ${\cal S}$ の非可約 twisted $V$-加群から、複素数体上での有限次元半単純結合的代数 ${\cal A}_\alpha(G,{\cal S})$ を構成する。
• $A_{G,n}(V)$ の理論を用いて、$V^G$ と ${\cal A}_\alpha(G,{\cal S})$ が直接和 $\mathcal{M} = \bigoplus_{M \in \mathcal{S}} M$ 上に作用することを分析し、シュール＝ウェイエル双対性分解 $\mathcal{M} \cong \bigoplus_{j,\lambda} W^j_\lambda \otimes M^j_\lambda$ を確立する。
• 付録に記載された二項係数行列 $A$ の非特異性を、差積と変数の累乗への因数分解を用いた組合せ的恒等式による行列式の計算により証明する。
• $A$ の非特異性を応用し、シュール＝ウェイエル双対性の妥当性と分解における $V^G$-加群の非可約性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $g$ の固有空間分解に依存しない一様な積 $*_{n}$ を $V$ 上に定義できるか？ その積の像が、各 $A_{g,n}(V)$ において標準的な $g$-twisted 積を回復するか？
• RQ2 $G$-twisted Zhu 代数 $A_{G,n}(V)$ の構成によって、すべての $g$-twisted Zhu 代数 $A_{g,n}(V)$ が一つの代数的構造に統合されるか？
• RQ3 $G$-安定な非可約 twisted $V$-加群の直接和に作用する有限次元半単純代数 ${\cal A}_\alpha(G,{\cal S})$ と固定点代数 $V^G$ の間にシュール＝ウェイエル双対性が存在するか？
• RQ4 この双対性は、$g$ が $G$ の中心に属さない場合でも、すべての非可約 $g$-twisted $V$-加群が $V^G$-加群として完全可約であることを示唆するか？
• RQ5 双対性の証明に用いられる一般化された二項行列の行列式は何か？ その非特異性は主な結果の正当性をどのように支持するか？

主な発見

• $V$ が単純であるとき、$G$-twisted Zhu 代数 $A_{G,n}(V)$ は代数的に $\bigoplus_{g \in G} A_{g,n}(V)$ に同型である。これは、統一的積構成の整合性を確認する。
• 一様な積 $*_{n}$ は、$\phi_n(u *_{n} v) = (u *_{g,n} v + O_{g,n}(V))_{g \in G}$ を満たす。ここで $\phi_n: V \to \bigoplus_{g \in G} A_{g,n}(V)$ は代数的同型写像である。
• $G$-安定な非可約 twisted $V$-加群の直接和 $\mathcal{M} = \bigoplus_{M \in \mathcal{S}} M$ は、$\mathcal{M} \cong \bigoplus_{j,\lambda} W^j_\lambda \otimes M^j_\lambda$ に分解される。ここで $W^j_\lambda$ は ${\cal A}_\alpha(G,{\cal S})$-加群の単純加群であり、$M^j_\lambda$ は $V^G$-加群の非可約加群である。
• $V^G$-加群 $M^j_\lambda$ は、$(j,\lambda)$ が異なる限り互いに同型でない。各 $M^j_\lambda$ は単純 ${\cal A}_\alpha(G,{\cal S})$-加群の重複度空間である。
• 変数 $x_i$（$1 \leq i \leq t$）、$k$（$0 \leq k \leq b-1$）に対して、二項係数 $\binom{x_i}{a+k}$ を要素とする行列 $A$ は非特異であり、その行列式は差積と変数の累乗を含む有理関数として与えられる。
• $A$ の非特異性により、シュール＝ウェイエル双対性分解の妥当性が保証され、すべての非可約 $g$-twisted $V$-加群が $V^G$-加群として完全可約であるという証明の根拠が得られる。