[論文レビュー] Uniform regularity and vanishing viscosity limit for the compressible Navier-Stokes with general Navier-slip boundary conditions in 3-dimensional domains

Yong Wang, Xin Zhouping+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般のノイマンスリップ境界条件を有する3次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式について、一様正則性および粘性係数が0に近づく極限における結果を確立する。時間区間が粘性係数に依存しない、一様に有界な強解の存在を示し、コンノーラルソボレフ空間および$L^\infty$空間において、粘性係数$\varepsilon$に依存しない一様な有界性を保証する。また、Euler方程式への収束が定量的に評価され、密度の境界層が速度の境界層よりも弱いことが示されている。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the uniform regularity for the isentropic compressible Navier-Stokes system with general Navier-slip boundary conditions (1.6) and the inviscid limit to the compressible Euler system. It is shown that there exists a unique strong solution of the compressible Navier-Stokes equations with general Navier-slip boundary conditions in an interval of time which is uniform in the vanishing viscosity limit. The solution is uniformly bounded in a conormal Sobolev space and is uniform bounded in $W^{1,\infty}$. It is also shown that the boundary layer for the density is weaker than the one for the velocity field. In particular, it is proved that the velocity will be uniform bounded in $L^\infty(0,T;H^2)$ when the boundary is flat and the Navier-Stokes system is supplemented with the special boundary condition (1.21). Based on such uniform estimates, we prove the convergence of the viscous solutions to the inviscid ones in $L^\infty(0,T;L^2)$, $L^\infty(0,T;H^1)$ and $L^\infty([0,T] imesΩ)$ with a rate of convergence.

研究の動機と目的

• 3次元領域における一般のノイマンスリップ境界条件を有する圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の、粘性係数に依存しない一様正則性の確立。
• 粘性係数が0に近づく極限の解析を行い、圧縮性Euler方程式への収束の証明。
• 境界層構造の定量的評価を行い、特に密度の境界層が速度の境界層よりも弱いことを示すこと。
• 粘性係数$\varepsilon$に依存しない、コンノーラルソボレフ空間および$L^\infty$空間における一様推定の導出。
• $L^\infty(0,T;L^2)$、$L^\infty(0,T;H^1)$、および$L^\infty([0,T]\times\Omega)$における収束速度の確立。

提案手法

• 一般のノイマンスリップ境界条件を有する圧縮性ナビエ＝ストークス系に対する事前推定としてのコンノーラルエネルギー推定の導出。
• 法線方向微分の推定および$L^\infty$推定を用いて、$\varepsilon$に依存しない高階微分の制御。
• 境界条件(1.7)の渇きの式を用いてエネルギー推定の簡略化。
• 境界層解析において、修正された放物型正則化およびデュアメルの原理を用いる。
• 係数が変数である熱方程式に対する重み付き$L^\infty$推定を用いて、境界層構造の制御。
• コンノーラルソボレフ空間$H^2$および$W^{1,\infty}$における事前推定を、$\varepsilon$に依存しない形で確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粘性係数に依存しない、3次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の一般のノイマンスリップ境界条件に対する一様正則性推定を確立できるか？
• RQ2 粘性係数が0に近づく極限における、密度および速度の境界層の構造はいかなるものか？
• RQ3 圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の解は、同じ境界条件を有するEuler方程式の解に収束するか？
• RQ4 一般のノイマンスリップ条件下で、粘性係数が0に近づく極限における収束速度は何か？
• RQ5 境界条件の選択が、非粘性極限における解の正則性および安定性に与える影響は何か？

主な発見

• 一般のノイマンスリップ境界条件を有する圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、時間区間が粘性係数$\varepsilon$に依存しない、一意な強解が存在し、$L^\infty(0,T;H^2)$および$W^{1,\infty}$において一様に有界である。
• 解はコンノーラルソボレフ空間において一様に有界であり、粘性係数に依存しない正則性が保証される。
• 密度の境界層は速度場の境界層よりも弱く、境界付近での特異的挙動が小さいことを示している。
• $L^\infty(0,T;L^2)$、$L^\infty(0,T;H^1)$、および$L^\infty([0,T]\times\Omega)$における、粘性解から非粘性Euler解への収束が定量的収束速度とともに証明された。
• 平坦な境界および特別な境界条件(1.21)を有する場合、速度は$L^\infty(0,T;H^2)$において一様に有界である。
• 収束速度はエネルギー推定および解とその微分に対する重み付き$L^\infty$境界を用いて確立された。