[論文レビュー] Uniform Regularity Estimates in Parabolic Homogenization

Jun Geng, Zhongwei Shen|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、周期的で時間に依存する係数をもつ2階放物型系に対して、コンパクト性に基づく手法を用いて、スケーリングパラメータ $\varepsilon>0$ に依存しない一様な $W^{1,p}$、Hölder、Lipschitz推定を確立する。主な貢献は、係数行列の正則性を最小限にした条件下で、$C^1$ 円筒における初期-Dirichlet問題に対して、$\varepsilon>0$ に一様な $W^{1,p}$ 推定を導出することにある。

ABSTRACT

We consider a family of second-order parabolic systems in divergence form with rapidly oscillating and time-dependent coefficients, arising in the theory of homogenization. We obtain uniform interior $W^{1,p}$, Hölder, and Lipschitz estimates as well as boundary $W^{1,p}$ and Hölder estimates, using compactness methods. As a consequence, we establish uniform $W^{1,p}$ estimates for the initial-Dirichlet problems in $C^{1}$ cylinders.

研究の動機と目的

• 均質化理論に現れる、急激に振動する時間に依存する係数をもつ放物型系に対して、スケールパラメータ $\varepsilon>0$ に依存しない一様な正則性推定を確立すること。
• $\varepsilon>0$ に依存しない $W^{1,p}$、Hölder、Lipschitz 推定を導出すること。
• 境界設定、特に $C^1$-正則な円筒における初期-Dirichlet問題にこれらの推定を拡張すること。
• コンパクト性および実変数論的手法を用いて、放物型均質化における一様な $W^{1,p}$ 推定の枠組みを提供すること。
• 内部および境界推定を、$C^1$ 境界をもつ時間に依存する領域における完全な初期-Dirichlet問題に一般化すること。

提案手法

• 周期的かつ振動する係数をもつ放物型系の文脈で、$\varepsilon \to 0$ のときの解 $u_\varepsilon$ の挙動を解析するために、コンパクト性手法を用いる。
• 放物型円筒 $Q_r(x_0,t_0)$ および $\Omega_r(x_0,t_0)$ におけるスケーリング不変推定を用い、$\varepsilon$ に依存しない一様な境界を導出する。
• $L^2$ におけるエネルギー推定およびPoincaré型不等式を用いて、$u_\varepsilon$ 及びその勾配の $L^2$-ノルムを制御する。
• 実変数論的議論および被覆技法を用いて $W^{1,p}$ 推定を確立し、重なり合う円筒における局所的推定に問題を還元する。
• 球 $B(x_0,2r)$ が境界 $\partial\Omega$ と交差する場合を扱うことで、内部から境界設定への結果の拡張を実現し、Poincaré 不等式およびゼロ境界条件を用いる。
• 一般の $W^{-1,p}$ データの場合を、$F$ を $g + \text{div}(f)$ に分解することにより、$L^p$-発散型の場合に還元し、熱方程式に対する既知の推定を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケールパラメータ $\varepsilon$ に依存しない一様な $W^{1,p}$ 推定を、急激に振動する時間に依存する係数をもつ放物型系に対して確立できるか？
• RQ2 放物型円筒における解に対して、Hölder および Lipschitz 正則性推定は $\varepsilon$ に一様にどのように振る舞うか？
• RQ3 係数行列 $A(y,s)$ にどのような条件を課すと、$C^1$-正則領域における一様な境界 $W^{1,p}$ 及び Hölder 推定が得られるか？
• RQ4 時間に依存する領域における完全な初期-Dirichlet 問題に対して、一様な $W^{1,p}$ 推定を $L^p(0,T;W^{-1,p}(\Omega))$ データに拡張できるか？
• RQ5 コンパクト性手法および実変数論的手法を、時間に依存する係数をもつ放物型均質化にどの程度適応できるか？

主な発見

• $2 < p < \infty$ に対して、内部の一様 $W^{1,p}$ 推定が確立され、定数 $C_p$ は $d$、$m$、$p$、および係数行列 $A$ のみに依存し、$\varepsilon$ には依存しない。
• $p > d+2$ の場合、解 $u_\varepsilon$ は指数 $\alpha = 1 - \frac{d+2}{p}$ のHölder推定を満たし、$\varepsilon$ に一様に成り立つ。
• 係数行列 $A$ がHölder連続である場合、Lipschitz正則性 $C^{1,1/2}$ が得られ、推定式 $\|u_\varepsilon\|_{C^{1,1/2}(Q)} \leq C_p \left\{ \frac{1}{r}\left(-\!\!\!\!\int_{2Q}|u_\varepsilon|^2\right)^{1/2} + r\left(-\!\!\!\!\int_{2Q}|F|^p\right)^{1/p} \right\}$ が成り立つ。
• $C^1$ 領域に対して境界 $W^{1,p}$ 推定が導出され、推定式 $\left(-\!\!\!\!\int_{\Omega_r}|\nabla u_\varepsilon|^p\right)^{1/p} \leq C_p \left\{ \frac{1}{r}\left(-\!\!\!\!\int_{\Omega_{2r}}|u_\varepsilon|^2\right)^{1/2} + \left(-\!\!\!\!\int_{\Omega_{2r}}|f|^p\right)^{1/p} \right\}$ が $\varepsilon$ に一様に成り立つ。
• $C^1$ 円筒における完全な初期-Dirichlet 問題に対して、一様な $W^{1,p}$ 推定が成り立つ：$\|\nabla u_\varepsilon\|_{L^p(0,T;L^p(\Omega))} \leq C_p \|F\|_{L^p(0,T;W^{-1,p}(\Omega))}$ であり、$C_p$ は $\varepsilon$ に依存しない。
• 非同次Dirichletデータに対しても、調和拡張を差し引くことで、$\varepsilon$ に一様な性質が保たれる。