[論文レビュー] Uniform sampling in a structured branching population

Aline Marguet|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、個体の特性が分製数と子孫分布に影響を与える構造的分岐集団において、一様に抽出された個体の特性を特徴付けるために、'ペナルティ付き'または'補助的'プロセスと呼ばれる補助マルコフ過程を導入する。多くの対1の公式とそのフォーク構造への拡張を確立し、大規模集団における極限において、この補助プロセスが典型的な個体の特性ダイナミクスを正確に記述することを証明する。また、明示的な無限小生成作用素と成長断片化モデルへの応用も示す。

ABSTRACT

We are interested in the dynamic of a structured branching population where the trait of each individual moves according to a Markov process. The rate of division of each individual is a function of its trait and when a branching event occurs, the trait of the descendants at birth depends on the trait of the mother and on the number of descendants. In this article, we explicitly describe the penalized Markov process, named auxiliary process, corresponding to the dynamic of the trait along the spine by giving its associated infinitesimal generator. We prove a Many-to-One formula and a Many-to-One formula for forks. Furthermore, we prove that this auxiliary process characterizes exactly the process of the trait of a uniformly sampled individual in the large population approximation. We detail three examples of growth-fragmentation models: the linear growth model, the exponential growth model and the parasite infection model.

研究の動機と目的

• 個体の特性が分裂と子孫分布に影響を与える大規模な構造的分岐集団において、一様に抽出された個体の特性を特徴付けること。
• 非中立的分岐過程における集団構造と抽出が引き起こすバイアスを特定すること。
• 補助プロセスと多くの対1の公式を用いて、特性ダイナミクスと先祖系統の厳密な数学的枠組みを構築すること。
• 補助プロセスの明示的生成作用素を提供し、大規模集団における一様抽出の近似にその有用性を検証すること。
• 線形、指数的、および寄生虫感染モデルの3つの成長断片化モデルへのフレームワークの応用。

提案手法

• 元の分岐過程のダイナミクスから導かれる時刻非定常な生成作用素 $ \mathcal{A}_s^{(t)} $ を持つ補助プロセス $ Y_t^{(t)} $ を導入する。
• ペナルティ付きダイナミクスを組み込んだ無限小生成作用素 $ \mathcal{A}_s^{(t)}f(x) = \widehat{\mathcal{G}}_s^{(t)}f(x) + \widehat{B}_s^{(t)}(x) \int_{\mathcal{X}} (f(y) - f(x)) \widehat{P}_s^{(t)}(x,dy) $ を導出する。
• 多くの対1の公式を確立する：$ \mathbb{E}\left[\sum_{u\in V_t} F(X_s^u, s\leq t)\right] = m(x,0,t) \mathbb{E}\left[F(Y_s^{(t)}, s\leq t)\right] $。この公式により、集団レベルの関数の期待値が補助プロセスに結びつく。
• 単調クラス定理を用いて、単純なシリンダー関数から出発し、スコロホド空間上のすべての有界可測関数へと多くの対1の公式を拡張する。
• 線形、指数的、および寄生虫感染モデルの3つの成長断片化モデルにフレームワークを適用し、明示的な生成作用素の導出を実施する。
• 補助プロセスが、大規模集団における極限において、一様抽出個体の特性を記述することを証明し、経験的測度の収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模集団における構造的分岐集団において、一様に抽出された個体の特性を数学的に特徴付ける方法は何か？
• RQ2 補助プロセスは、一様に抽出された個体の先祖系統を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ3 多くの対1の公式は、系統木におけるフォーク構造を含めるためにどのように拡張可能か？
• RQ4 時刻非定常な設定における補助プロセスの無限小生成作用素の明示的形は何か？
• RQ5 得られた結果は、線形、指数的、および寄生虫感染モデルといった具体的な成長断片化モデルにどのように応用可能か？

主な発見

• 時刻非定常な生成作用素 $ \mathcal{A}_s^{(t)} $ を持つ補助プロセス $ Y_t^{(t)} $ は、大規模集団における極限において、一様に抽出された個体の特性を正確に記述する。
• 多くの対1の公式が成立する：$ \mathbb{E}\left[\sum_{u\in V_t} F(X_s^u, s\leq t)\right] = m(x,0,t) \mathbb{E}\left[F(Y_s^{(t)}, s\leq t)\right] $。この公式により、集団レベルの関数的期待値が補助プロセスに結びつく。
• 補助プロセスの無限小生成作用素は明示的に導出され、$ \mathcal{A}_s^{(t)}f(x) = \widehat{\mathcal{G}}_s^{(t)}f(x) + \widehat{B}_s^{(t)}(x) \int_{\mathcal{X}} (f(y) - f(x)) \widehat{P}_s^{(t)}(x,dy) $ となる。
• 補助プロセスは、集団構造とサイズに偏った抽出によるバイアスを補償し、ペナルティ項が集団の成長率を反映している。
• 線形成長、指数的成長、および寄生虫感染モデルの3つのモデルに対してフレームワークが検証され、明示的な生成作用素の式が提供された。
• 大規模集団近似のもとで、経験的測度 $ Z_t = \sum_{u\in V_t} \delta_{X_t^u} $ が補助プロセスの分布に収束することが確立された。