[論文レビュー] Uniform semantic treatment of default and autoepistemic logics

Marc Denecker, Victor W. Marek+1 more|ArXiv.org|Feb 3, 2000

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、信念対と知識順序を用いて、デフォルト論理とオートエピステミック論理を統一的な意味論枠組みで提示する。固定点による演算子の正確な整合性を通じて、デフォルト論理がオートエピステミック論理の断片であることを確立する。主な貢献は、コンロリゲの翻訳が、強拡張と弱拡張を区別するための別個の演算子を用いて意味論を適切に整合させた場合にのみ、拡張と拡張の間に一対一対応を達成できることを示したことである。

ABSTRACT

We revisit the issue of connections between two leading formalisms in nonmonotonic reasoning: autoepistemic logic and default logic. For each logic we develop a comprehensive semantic framework based on the notion of a belief pair. The set of all belief pairs together with the so called knowledge ordering forms a complete lattice. For each logic, we introduce several semantics by means of fixpoints of operators on the lattice of belief pairs. Our results elucidate an underlying isomorphism of the respective semantic constructions. In particular, we show that the interpretation of defaults as modal formulas proposed by Konolige allows us to represent all semantics for default logic in terms of the corresponding semantics for autoepistemic logic. Thus, our results conclusively establish that default logic can indeed be viewed as a fragment of autoepistemic logic. However, as we also demonstrate, the semantics of Moore and Reiter are given by different operators and occupy different locations in their corresponding families of semantics. This result explains the source of the longstanding difficulty to formally relate these two semantics. In the paper, we also discuss approximating skeptical reasoning with autoepistemic and default logics and establish constructive principles behind such approximations.

研究の動機と目的

• デフォルト論理とオートエピステミック論理の間の形式的関係を解明する長年の未解決問題に取り組む。両者は構文と意味論が異なっているが、深い概念的関係を有する。
• 信念対と知識順序に基づく、両論理の包括的な意味論枠組みを構築し、完全なラティスを形成する。
• 従来の翻訳、特にコンロリゲのものがあなたの拡張と拡張の間に一対一対応を確立できなかった理由を明確にする。
• 両論理における懐疑的推論が、クリプケ＝クライン形式とWell-Founded意味論を用いて構成的に近似可能であることを示す。
• ムーアとライターの意味論が異なる演算子によって定義され、意味論の階層において異なる位置を占めることを明らかにし、それらの非可換性を説明する。

提案手法

• 信念対 (P, S) を導入し、P は既知の信念を、S はあり得る真である信念を表す。これは可能な世界構造の一般化である。
• 信念対の集合に知識順序を定義し、完全なラティスを形成することで、非単調推論の代数的取り扱いを可能にする。
• 拡張、拡張、およびそれらの近似を捉えるために、信念対のラティス上に意味論的演算子（例：D_T, E_Δ, D_T^st, E_Δ^st）を構築する。
• これらの演算子の固定点を用いて意味論を定義する：弱拡張、強拡張、クリプケ＝クライン形式、Well-Founded意味論。
• コンロリゲの翻訳がデフォルト理論をモダール理論に写像する際、適切に演算子を整合させれば、対応する意味論が一致することを証明する。
• ムーアとライターの意味論が異なる演算子によって定義され、したがって単純な翻訳によって直接等価にできないことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デフォルト論理とオートエピステミック論理の両者に共通する一様な意味論枠組みを構築可能か？ これにより、両者の本質的同型性が明らかになる。
• RQ2 なぜ従来のデフォルト論理をオートエピステミック論理に埋め込む試み、特にコンロリゲのものがあなたの拡張と拡張の間に一対一対応を維持できなかったのか？
• RQ3 ムーアとライターのオートエピステミック論理とライターのデフォルト論理の意味論は、演算子構造の違いにより根本的に不適合であるとみなせるか？
• RQ4 両論理における懐疑的推論は、信念対における固定点意味論を用いて構成的に近似可能か？
• RQ5 オートエピステミック論理における演算子 D_T^st の役割は何か？ これに対応する既知の意味論は文献に存在するか？

主な発見

• 本稿は、対応する演算子の固定点による適切な意味論の整合性がある場合、デフォルト論理がオートエピステミック論理の断片であることを確立した。
• コンロリゲの翻訳が拡張と拡張の間に一対一対応を達成するのは、E_Δ^st と D_T^st の正しい演算子のペアが使われた場合に限る。E_Δ と D_T の弱いペアでは達成できない。
• ムーアとライターの意味論が異なる演算子によって定義されることを示し、それらを単純な翻訳で形式的に関連づけることはできないことを説明した。
• クリプケ＝クライン形式とWell-Founded意味論は、信念対枠組みによって両論理で統一され、懐疑的推論のより速い構成的近似が可能になった。
• オートエピステミック論理における強拡張を定義する演算子 D_T^st は、文献において新しいものであり、その固定点は以前に研究されていなかった。
• 本枠組みは論理プログラミングや自己言及的オートエピステミック論理へ一般化可能であり、非単調形式的体系の背後にある深い代数的統一性を示している。