[論文レビュー] Uniform spectral properties of one-dimensional quasicrystals, II. The Lyapunov exponent

David Damanik, Daniel Lenz|ArXiv.org|May 16, 1999

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、転送行列の分析を通じて、1次元準結晶におけるステルミアンポテンシャルの下で、スペクトルの全域にわたる一様なスペクトル的性質を確立する。すべての無理数的回転数に対して、スペクトル上でのリャプノフ指数の均一な消滅を証明する。さらに、複素平面全体におけるリャプノフ指数の一様な存在性と、有界な連分数展開を持つ場合の転送行列成長の多項式的上界を確立し、フィボナッチ準結晶への完全な適用可能性を示す。

ABSTRACT

In this paper we introduce a method that allows one to prove uniform local results for one-dimensional discrete Schrödinger operators with Sturmian potentials. We apply this method to the transfer matrices in order to study the Lyapunov exponent and the growth rate of eigenfunctions. This gives uniform vanishing of the Lyapunov exponent on the spectrum for all irrational rotation numbers. For irrational rotation numbers with bounded continued fraction expansion, it gives uniform existence of the Lyapunov exponent on the whole complex plane. Moreover, it yields uniform polynomial upper bounds on the growth rate of transfer matrices for irrational rotation numbers with bounded density. In particular, all our results apply to the Fibonacci case.

研究の動機と目的

• 1次元離散シュレーディンガー作用素に対して、ステルミアンポテンシャルを持つ場合の均一な局所的結果を確立すること。
• 転送行列法を用いて、リャプノフ指数と固有関数の成長率を分析すること。
• 有界な連分数展開を持つ無理数的回転数に対して、均一なスペクトル的性質を拡張すること。
• 有界密度を持つ準結晶における転送行列成長の均一な上界を提供すること。
• 結果が標準的フィボナッチ準結晶モデルに適用可能であることを確認すること。

提案手法

• 1次元準結晶における転送行列の均一な結果を導出するための新規な手法を導入する。
• この手法を用いて、転送行列のスペクトル解析を通じてリャプノフ指数を研究する。
• ステルミアン列と回転数の性質を用いて、スペクトル行動を分析する。
• 有界な連分数展開を用いて、複素平面全体にわたるリャプノフ指数の一様性を保証する。
• 密度条件を用いて、転送行列の成長率の多項式的上界を導出する。
• 特に、準結晶の代表例であるフィボナッチ列にこのフレームワークを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元準結晶におけるすべての無理数的回転数に対して、スペクトル上でのリャプノフ指数が均一に消えるか？
• RQ2 有界な連分数展開を持つステルミアンポテンシャルに対して、複素平面全体にわたるリャプノフ指数が均一に定義可能か？
• RQ3 このような系における転送行列の成長の均一な上界は何か？
• RQ4 これらの結果はどのようにフィボナッチ準結晶モデルに適用されるか？
• RQ5 非周期的ポテンシャルに対して、転送行列技法を用いて均一なスペクトル的性質を確立できるか？

主な発見

• 1次元準結晶におけるステルミアンポテンシャルに対して、すべての無理数的回転数に対して、スペクトル上でのリャプノフ指数が均一に消える。
• 有界な連分数展開を持つ無理数的回転数に対して、複素平面全体にわたるリャプノフ指数が均一に存在する。
• 有界密度を持つ無理数的回転数に対して、転送行列の成長率の多項式的上界が均一に確立される。
• すべての結果が均一に有効であり、準結晶物理学における重要なモデルであるフィボナッチ準結晶に直接適用可能である。
• この手法により、非周期系に一般的に見られる非一様性の問題を克服した、均一な局所的解析が可能になる。
• このフレームワークは、フィボナッチの場合を越えて、1次元準結晶におけるスペクトル解析の体系的アプローチを提供する。