[論文レビュー] Uniform subspace correction preconditioners for discontinuous Galerkin methods with $hp$-refinement

Will Pazner, Tzanio Kolev|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 63被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、hp-自己適合型の高次不連続ガラーキン（DG）法に適した、新しい部分空間補正プリコンディショナを提案する。この手法は、適合部分空間に対して行列フリーの低次元の緩和プリコンディショナを組み合わせ、エッジに基づく非適合部分空間を用いる。条件数がメッシュサイズ $h$、多項式次数 $p$、ペナルティパラメータ $η$ に依存しないことを実現し、高次に不規則で急激に細分化されたメッシュ上でも、悪条件なDG系の反復的解法を安定して行える。

ABSTRACT

In this paper, we develop subspace correction preconditioners for discontinuous Galerkin (DG) discretizations of elliptic problems with $hp$-refinement. These preconditioners are based on the decomposition of the DG finite element space into a conforming subspace, and a set of small nonconforming edge spaces. The conforming subspace is preconditioned using a matrix-free low-order refined technique, which in this work we extend to the $hp$-refinement context using a variational restriction approach. The condition number of the resulting linear system is independent of the granularity of the mesh $h$, and the degree of polynomial approximation $p$. The method is amenable to use with meshes of any degree of irregularity and arbitrary distribution of polynomial degrees. Numerical examples are shown on several test cases involving adaptively and randomly refined meshes, using both the symmetric interior penalty method and the second method of Bassi and Rebay (BR2).

研究の動機と目的

• hp-自己適合型不連続ガラーキン離散化から生じる悪条件な線形系を解く課題に対処すること。
• 非常に不規則なメッシュおよび任意の多項式次数分布に対して有効なプリコンディショナを開発すること。
• メッシュサイズ $h$、多項式次数 $p$、ペナルティパラメータ $\eta$ に対して、条件数の安定性を確保すること。
• 変分的制限作用素を用いて、行列フリーの低次元の緩和プリコンディショナを、hp-自己適合型の文脈へ拡張すること。
• 適応的およびランダムに細分化されたメッシュ上でも、追加の Schwarz 法を用いて最適収束率を達成する効率的な反復的解法を可能にすること。

提案手法

• DG有限要素空間を適合部分空間と非適合エッジ部分空間に分解する。
• 変分的制限作用素を用いて、高次問題を低次問題に写像し、適合部分空間に行列フリーの低次元の緩和プリコンディショナを適用する。
• ガウス＝ロバッチョフスキー・ノード点に基づくエッジ部分空間におけるブロックヤコビ smoother を用い、メッシュの不規則性と多項式分布に適応させる。
• 全体のプリコンディショナを、粗次元空間のプリコンディショナとエッジ部分空間の smoother の和として構築し、部分空間補正法を形成する。
• 加法的 Schwarz フレームワーク内で手法を分析し、$h$、$p$、$\eta$ に依存しない条件数の上限を理論的に証明する。
• メッシュと多項式次数の不規則性に基づいて、部分空間分解を生成する実用的なアルゴリズムを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の hp-自己適合型のDG法に対して、$h$、$p$、$\eta$ に依存しない一様収束性を保つ部分空間補正プリコンディショナを構築できるか？
• RQ2 変動する多項式次数とハングノードを伴う hp-自己適合型の文脈において、行列フリーの低次元の緩和プリコンディショナをどのように拡張できるか？
• RQ3 メッシュの不規則性と変動する多項式次数分布が、プリコンディショニング系の性能と条件数に与える影響は何か？
• RQ4 反復回数と安定性の観点から、標準的な代数多重グリッド法（BoomerAMG）および簡易対角プリコンディショナと比較して、本手法はどのように差をつけるか？
• RQ5 異なる安定化項を用いるBR2型の代替DG式に対しても、本プリコンディショナは一様収束性を維持できるか？

主な発見

• 理論的証明と数値的検証により、プリコンディショニング系の条件数がメッシュサイズ $h$、多項式次数 $p$、ペナルティパラメータ $\eta$ に依存しないことが示された。
• 共役勾配反復回数は、メッシュサイズが増加してもほとんど変化せず、収束性が安定していることが示された。
• ランダムに細分化されたメッシュでは、反復回数はメッシュの不規則性に伴いわずかに増加するが、メッシュが1-不規則性に制限されれば、依然として有界のままである。
• エッジ部分空間 $V_e$ の次元はメッシュの不規則性に応じて増加するが、並列処理においても管理可能でスケーラブルである。
• BoomerAMG や簡易対角プリコンディショナーよりも優れた性能を示し、特にペナルティパラメータ $\eta$ が大きい場合には顕著に劣化する他の手法と比較して顕著な優位性を示す。
• 数値結果により、対称内側ペナルティ（SIPDG）および BR2 形式の両方に対して、すべてのテストパラメータ範囲で一様収束性が確認された。