[論文レビュー] Uniformity of uniform convergence on the family of sets

Alexander V. Osipov|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一様収束の位相が空間 $ C(X,Y) $ 上の集合開位相と一致する条件を確立する。ハウスドルフ空間 $ X $ および一様空間 $ Y $ に対して、一様族 $ \nu $ に対して一様収束の位相が集合開位相と一致するための必要十分条件は、$ \nu $ が $ Y $-コンパクト集合からなることである。特に $ Y $ が閉じた自己同型かつ完備な場合に成り立つ。主な貢献は、一様収束が集合開位相を誘導するような族の位相的特徴づけである。

ABSTRACT

We prove that for every Hausdorff space X and any uniform quadra space (Y,U) the topology on C(X,Y) induced by the uniformity U| of uniform convergence on the saturation family L coincides with the set-open topology on C(X,Y). In particular, for every pseudocompact space X and any metrizable topological vector space Y with uniform U the topology on C(X,Y) induced by the uniformity U| of uniform convergence coincides with the C-compact-open topology on C(X,Y), and depends only on the topology induced on Y by the uniformity U. It is also shown that in the class closed-homogeneous complete uniform spaces Y necessary condition for coincidence of topologies is Y-compactness of elements of family L.

研究の動機と目的

• 一様収束の族による位相が $ C(X,Y) $ 上の集合開位相と一致する条件を特定すること。
• 一様収束の位相が集合開位相を誘導するような族を特徴づけること。
• 位相的一致が成立するための族 $ \lambda $ および空間 $ Y $ に対する必要十分条件を確立すること。
• $ Y $-コンパクト性、閉じた自己同型性、完備性が位相的同値性を保証する役割を果たすことを明らかにすること。

提案手法

• 集合 $ X $ の族 $ \lambda $ 上での一様収束の位相 $ \mathcal{\hat{U}}|\lambda $ を定義し、$ A \in \lambda $ および $ V \in \mathcal{U} $ に対してエントゥリの $ \hat{V}|A $ を用いる。
• 集合 $ A \in \lambda $、$ U \subseteq Y $ が開集合であるとき、$ [A, U] = \{ f \in C(X,Y) : f(A) \subseteq U \} $ を生成する部分基底からなる集合開位相を用いる。
• 四重空間（quadra space）および $ Y $-コンパクト集合の性質を用いて、連続写像の下での交わりや像を分析する。
• $ Y $ の閉じた自己同型性を応用し、点を移動させるが位相を保つホメオモルフィズムを構成することで、仮定が成り立たない場合に矛盾を導く。
• $ Y $ の完備性を用いて、閉じた完全有界集合がコンパクトであることを示し、完全有界性とコンパクト性を結びつける。
• 非コンパクト像とホメオモルフィズムの摂動を用いて、背理法により $ \lambda $ 内の $ Y $-コンパクト性の必要性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様族 $ \lambda $ 上での一様収束の位相が $ C(X,Y) $ 上の集合開位相と同一となる条件は何か？
• RQ2 位相が一致するための族 $ \lambda $ が満たすべき位相的性質は何か。特に $ Y $ が閉じた自己同型である場合に注目する。
• RQ3 $ Y $ の構造、例えば四重空間であることや $ G_\delta $-対角を持つことなどが、一様収束位相と集合開位相の関係に与える影響は何か？
• RQ4 $ Y $ が完備かつ閉じた自己同型であるとき、$ \lambda $ の要素が $ Y $-コンパクトであることこそ、位相的一致の必要十分条件であるか？
• RQ5 $ \lambda $ に非コンパクト集合が含まれる場合でも、$ Y $ に特定の条件が満たされていれば、一様収束の位相が集合開位相を誘導できるか？

主な発見

• 任意のハウスドルフ空間 $ X $ および任意の一様空間 $ (Y,\mathcal{U}) $ に対して、$ C(X,Y) $ 上の位相が $ \mathcal{\hat{U}}|\lambda $ によって誘導されるとき、その位相が集合開位相と一致するための必要十分条件は、$ \lambda $ が $ Y $-コンパクト集合からなることである。
• 特に、擬コンパクトな $ X $ および距離化可能な位相線形空間 $ Y $ に対して、一様収束の位相 $ \mathcal{\hat{U}} $ は $ C $-コンパクト開位相と同じ位相を誘導する。
• もし $ Y $ が閉じた自己同型かつ完備な一様空間であり、位相が一致するならば、$ \lambda $ のすべての集合は $ Y $-閉じた完全有界集合でなければならない。
• 閉じた自己同型かつ完備な一様空間 $ Y $ に対して、位相が一致するためには、族 $ \lambda $ が $ Y $-コンパクト集合からなる必要がある。
• Sorgenfrey直線 $ Z $ は四重空間であるため、任意のハウスドルフ空間 $ X $ に対して、コンパクト集合上での一様収束の位相 $ \mathcal{\hat{U}}|\lambda $ は $ C(X,Z) $ 上で集合開位相を誘導する。
• $ \lambda $ 内の $ Y $-コンパクト性の必要性は背理法により確立されている。非コンパクト性を仮定すると、位相的同値性を破るホメオモルフィズムの構成が可能になる。