[論文レビュー] Uniformization of higher genus finite type log-Riemann surfaces

Kingshook Biswas, Ricardo Pérez-Marco|arXiv (Cornell University)|May 10, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、高 genus で有限型の対数リーマン面に対して一様化定理を確立し、それが、各々の尖点において指数関数的特異性をもつ射影1形式の引き戻しを持つ、有限個の穴あきをもつコンパクトリーマン面と正則同型であることを証明している。主な結果は、単連結の場合の既存の一様化結果を、任意の有限型の表面へ一般化し、指数関数的特異性をもつメラモーフィック1形式を用いるものである。

ABSTRACT

We consider a log-Riemann surface $\mathcal{S}$ with a finite number of ramification points and finitely generated fundamental group. The log-Riemann surface is equipped with a local holomorphic difffeomorphism $π: \mathcal{S} o \C$. We prove that $\mathcal{S}$ is biholomorphic to a compact Riemann surface with finitely many punctures $S$, and the pull-back of the 1-form $dπ$ under the biholomorphic map $ϕ: S o \mathcal{S}$ is a 1-form $ω= ϕ^* dπ$ with isolated singularities at the punctures of exponential type, i.e. near each puncture $p$, $ω= e^h \cdot ω_0$ where $h$ is a function meromorphic near $p$ and $ω_0$ a 1-form meromorphic near $p$.

研究の動機と目的

• 有限型対数リーマン面の一様化定理を、単連結の場合を超えて、高 genus で有限生成基本群をもつ場合にまで拡張すること。
• 高 genus で有限生成基本群をもつ有限型対数リーマン面の構造を同定すること。
• このような表面と、有限個の穴あきをもつコンパクトリーマン面との間の正則同型性を確立すること。
• 射影1形式の引き戻し $ d ilde{\theta} $ が、穴あき点において指数関数的特異性をもつこと、すなわちメラモーフィック関数およびメラモーフィック1形式を用いて定義されることを示すこと。
• 逆の結果を証明する：穴あきコンパクトリーマン面上で定義されたメラモーフィック関数で、その微分に指数関数的特異性をもつものから、有限型対数リーマン面が得られることを示すこと。

提案手法

• 端とスケルトンへの位相的分解を用いて、各端が有限個の端をもち、穴あきディスク構造をもつことを示す。
• 単連結で有限型の対数リーマン面への等長埋め込みを適用し、既知の一様化結果を活用する。
• 単連結対数リーマン面の一様化定理を用いて、各端が穴あきディスクと正則同型であることを証明する。
• 1形式 $ d ilde{\theta} = \tilde{\theta}^* d\theta $ が、穴あき点において指数関数的特異性をもち、$ e^h \cdot \omega_0 $ の形で表されることを示す。ここで $ h $ は極をもつメラモーフィック関数であり、$ \omega_0 $ はメラモーフィックである。
• 穴あき点の近傍で、$ |df| $ と $ |z^k e^{z^n} dz| $ の間の双リプシッツ同値性を用いて、完備化の挙動を制御する。
• カラテオドリの収束定理およびコンパクト性定理を適用し、指数的特異性をもつ穴あき点の近傍のメトリック完備化において、有限個の点しか追加されないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限型対数リーマン面の一様化は、単連結の場合を超えて、高 genus で有限生成基本群をもつ場合へも拡張可能か？
• RQ2 コンパクト化された表面の穴あき点における引き戻し1形式 $ d\tilde{\theta} $ の特異性の正確な性質は何か？
• RQ3 穴あきコンパクトリーマン面上で定義されたメラモーフィック関数が、有限個の臨界点をもち、その微分に指数的特異性をもつとき、どのような条件下で有限型対数リーマン面構造を誘導するか？
• RQ4 微分 $ df $ に指数的特異性をもつ穴あき表面のメトリック完備化は、どのように制御され、有限個の点しか追加されないことを保証できるか？
• RQ5 逆の構成は存在するか？すなわち、すべてのこのような関数が、指数的特異性をもつ有限型対数リーマン面の一様化として得られるか？

主な発見

• すべての有限型対数リーマン面は、有限個の穴あきをもつコンパクトリーマン面と正則同型である。
• 射影1形式の引き戻し $ d\tilde{\theta} $ は、穴あき点において指数関数的特異性をもち、$ h $ が極をもつメラモーフィック関数で、$ \omega_0 $ がメラモーフィックであるような形 $ e^h \cdot \omega_0 $ で表せる。
• 表面の各端は穴あきディスクと正則同型であり、1形式 $ d\tilde{\theta} $ は対応する穴あき点において指数関数的特異性をもつ。
• 指数的特異性をもつ穴あき点の近傍の完備化は、有限個の点しか追加しないため、表面が有限型のままであることが保証される。
• 逆は成り立つ：有限個の臨界点をもち、微分に指数的特異性をもつ穴あきコンパクトリーマン面上の任意のメラモーフィック関数は、有限型対数リーマン面から生じる。
• この構成は、双リプシッツ同値性とカラテオドリの収束を用いて、$ df $ が極や指数的特異性をもつ場合であっても、有限完備化が保証されることに依存する。