[論文レビュー] Uniformization with infinitesimally metric measures

Kai Rajala, Martti Rasimus+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、測度 μ を用いて曲線の長さを変形することによって、ℝ² に同相な測度的曲面上に μ-準等角写像を導入し、μ が無限小的メトリック測度—David-Semmes のメトリック二重化条件の無限小版を満たす—であるならば、ℝ² あるいは単位円板への μ-準等角写像が存在することを証明する。主な貢献は、古典的な幾何的構造を欠くフラクタル的性質を示す曲面に対する、新しい均一化定理の確立である。

ABSTRACT

We consider extensions of quasiconformal maps and the uniformization theorem to the setting of metric spaces $X$ homeomorphic to $\mathbb R^2$. Given a measure $μ$ on such a space, we introduce $μ$-quasiconformal maps $f:X o \mathbb R^2$, whose definition involves deforming lengths of curves by $μ$. We show that if $μ$ is an infinitesimally metric measure, i.e., it satisfies an infinitesimal version of the metric doubling measure condition of David and Semmes, then such a $μ$-quasiconformal map exists. We apply this result to give a characterization of the metric spaces admitting an infinitesimally quasisymmetric parametrization.

研究の動機と目的

• 局所的有限なハウスドルフ 2-測度や可rectifiable路をもたない、ℝ² に同相な測度的空間への準等角均一化の拡張を図ること。
• 測度 μ を用いて曲線の長さを変形する新しいクラスの μ-準等角写像を定義し、古典的準等角性を一般化すること。
• 追加の幾何的条件を満たす無限小的メトリック測度を用いて、無限小的準対称パラメトライゼーションを許容する測度的空間を特徴づけること。
• フラクタル的曲面では古典的コンフォーマルモジュラス法が失敗することを、測度依存のモジュラス枠組みを導入することで克服すること。

提案手法

• 領域空間 X 上の測度 μ を用いて、曲線の μ-長さを定義し、それによって μ-準等角写像を定義する。
• X 内の曲線族の μ-モジュラスを定義し、ℝ² 内の像のコンフォーマルモジュラスと比較する。
• 測度 μ を用いて、元の距離 d を変形し、新しい距離 q を得る。このとき (X, q) は局所的有限なハウスドルフ 2-測度を持つようにする。
• [14] の均一化定理を適用し、(X, q) → ℝ² への準等角写像を得た後、恒等写像と合成することで μ-準等角写像を得る。
• David-Semmes のメトリック二重化条件の無限小版を満たす測度として「無限小的メトリック測度」を定義し、そのような変形が存在することを保証する。
• 定理 1.1 と [11] の一般化されたモジュラス推定値を組み合わせることで、無限小的準対称パラメトライゼーションの特徴づけを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハウスドルフ 2-測度が局所的有限でない、または可rectifiable路をもたない測度的曲面に対して、準等角均一化を拡張できるか？
• RQ2 ℝ² に同相な測度的曲面 X に定義された測度 μ が、ℝ² への μ-準等角写像の存在を保証するための条件は何か？
• RQ3 無限小的メトリック測度の概念は、無限小的準対称パラメトライゼーションの存在とどのように関係するか？
• RQ4 逆写像における準等角性の失敗は、測度論的および幾何的性質の観点から特徴づけられるか？
• RQ5 局所的 2-正則性が成立しない場合、ハウスドルフ 2-測度が局所的有限であっても、均一化の限界は何か？

主な発見

• X が ℝ² に同相な測度的空間であり、無限小的メトリック測度 μ を持つならば、Ω が ℝ² または単位円板であるとき、μ-準等角写像 f: X → Ω が存在する。
• μ-準等角写像の存在は、X 上の距離 d を、(X, q) が局所的有限なハウスドルフ 2-測度を持つように変形することによって保証される。
• 無限小的準対称写像 f: X → Ω が存在するための必要十分条件は、X が無限小的線形局所的連結であり、(X, μ) が無限小的 Loewner であるような無限小的メトリック測度 μ を持つことである。
• β ∈ (0, 1/2) である修正 β-Grushin 平面は、局所的有限なハウスドルフ 2-測度を持つ距離を備えるが、縦軸上のすべての点で無限小的上位 2-正則性を満たさない。
• ユークリッド平面から修正 β-Grushin 平面へのメトリック準等角写像は存在しないが、逆方向では恒等写像が 1-準等角である。
• 修正 β-Grushin 平面から ℝ² への恒等写像は 1-準等角であるが、逆方向には MQC 写像が存在しない。これは逆写像における準等角除去性の失敗に起因する。