[論文レビュー] Uniformizing Gromov hyperbolic spaces and Busemann functions

Qingshan Zhou|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 56被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Busemann関数を用いて非有界なGromov超曲空間を均質化するための新しい計量密度を導入し、proper geodesicでroughly starlikeな超曲空間のquasi-isometry類と、非有界な局所コンパクトな均質空間のquasi-similarity類との間に一対一対応を確立する。この手法により、古典的結果の新たな証明が得られ、metric settingにおけるTeichmüllerの変位定理およびquasisymmetry定理が拡張される。

ABSTRACT

By introducing a new metric density via Busemann function, we establish an unbounded uniformizing Gromov hyperbolic spaces procedure which is an analogue of a recent work of Bonk, Heinonen and Koskela in \cite{BHK}. Then we show that there is a one-to-one correspondence between the quasi-isometry classes of proper geodesic Gromov hyperbolic spaces that are roughly starlike with respect to the points at the boundaries of infinity and the quasi-similarity classes of unbounded locally compact uniform spaces. As applications, we establish Teichmuller's displacement theorem for roughly quasi-isometry in Gromov hyperbolic spaces, and explain the connections to the bilipschitz extensions of certain Gromov hyperbolic spaces. By using our uniformizing procedure, we also provide a new proof for Vaisala-Heinonen-Nakki's Theorem in the setting of metric spaces. Moreover, we obtain the quasisymmetry from local to global on uniform metric spaces.

研究の動機と目的

• Gromov超曲空間の非有界性を均質化するため、Busemann関数に起因する新しい計量密度を用いた均質化手続きの開発。
• proper geodesicでroughly starlikeなGromov超曲空間のquasi-isometry類と、非有界な局所コンパクトな均質空間のquasi-similarity類との間の一対一対応の確立。
• 均質化手法を用いて、Gromov超曲空間におけるroughly quasi-isometriesの文脈でTeichmüllerの変位定理を証明すること。
• bilipschitz拡張とGromov超曲空間の幾何的構造との関係を明確化すること。
• 提案された均質化を用いて、一般のmetric空間の文脈でVäisälä–Heinonen–Näkkiの定理の新たな証明を提供すること。

提案手法

• Gromov超曲空間内のgeodesic rayに関連するBusemann関数に基づく新しい計量密度の定義。
• この密度を用いて元の計量の共形変形を行い、均質な計量空間を生成すること。
• 得られた空間が局所コンパクトかつ均一にperfectであることを証明し、均質空間の公理を満たすことを示すこと。
• 歪みを制御した下で、均質化された空間と元の超曲空間との間のbi-Lipschitz同値性を確立すること。
• 幾何的クラス間の対応を用いて、quasisymmetryやquasi-isometry不変性などの性質を移行させること。
• 均質化写像を応用して、Väisälä–Heinonen–Näkkiの定理を含む既知の結果を、新たな幾何的議論により回復すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Busemann関数をどのように用いて、非有界なGromov超曲空間を均質化する計量密度を定義できるか？
• RQ2 proper geodesicでroughly starlikeなGromov超曲空間のquasi-isometry類と、非有界な均質空間のquasi-similarity類との間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 この均質化手続きを用いて、roughly quasi-isometriesの文脈におけるTeichmüllerの変位定理を再証明できるか？
• RQ4 この均質化が、Gromov超曲空間におけるbilipschitz拡張特性に及ぼす影響は何か？
• RQ5 この手法は、局所的なquasisymmetryを均質metric空間上で大域的quasisymmetryに拡張するのをどのように可能にするか？

主な発見

• Busemann関数に起因する新しい計量密度は、非有界なGromov超曲空間を効果的に均質化し、それらを局所コンパクトな均質空間に変換する。
• proper geodesicでroughly starlikeなGromov超曲空間のquasi-isometry類と、非有界な局所コンパクトな均質空間のquasi-similarity類との間に一対一対応が存在する。
• この手法により、従来の解析的技法に依存しない一般のmetric空間におけるVäisälä–Heinonen–Näkkiの定理の新たな証明が得られる。
• Teichmüllerの変位定理は、Gromov超曲空間におけるroughly quasi-isometriesの文脈で、均質化フレームワークを用いて拡張される。
• 本稿では、均質化写像を用いることで、局所的なquasisymmetryが均質metric空間上で大域的quasisymmetryに拡張できることを示し、グローバルなquasisymmetryの結果を確立する。
• 均質化手続きにより、bilipschitz拡張とGromov超曲空間の幾何的構造との間の構造的関係が明らかになり、特に境界挙動の文脈で顕在化する。