[論文レビュー] Uniformly accurate numerical schemes for highly oscillatory Klein-Gordon and nonlinear Schrödinger equations

Philippe Chartier, Nicolas Crouseilles+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2013

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、高速および低速の時間スケールを分離する二尺度形式を導入することで、高振動的ケイン・ゴールドン方程式および非線形シュレーディンガー方程式に対する一様精度（UA）数値スキームを提示する。この手法は、メッシュや時間刻みの細分化を回避し、解を二変数関数 $U^\varepsilon(t,\tau)$ に埋め込むことで、$\varepsilon$ に依存しない一様精度を達成する。非振動的、中間的、高振動的のすべての領域で、漸近的モデルに依存せず、$\varepsilon$ にかかわらず精度の次数が保たれる。主な貢献は、すべての $\varepsilon \in (0,\varepsilon_0]$ に対して安定かつ一様収束するスキームの構築である。この目的を達成するために、二尺度枠組みにおけるチャップマン＝エンスコ型展開を用い、$\varepsilon$ が小さいとは限らない場合でも安定性と精度を保証する。

ABSTRACT

This work is devoted to the numerical simulation of nonlinear Schrödinger and Klein-Gordon equations. We present a general strategy to construct numerical schemes which are uniformly accurate with respect to the oscillation frequency. This is a stronger feature than the usual so called "Asymptotic preserving" property, the last being also satisfied by our scheme in the highly oscillatory limit. Our strategy enables to simulate the oscillatory problem without using any mesh or time step refinement, and the orders of our schemes are preserved uniformly in all regimes. In other words, since our numerical method is not based on the derivation and the simulation of asymptotic models, it works in the regime where the solution does not oscillate rapidly, in the highly oscillatory limit regime, and in the intermediate regime with the same order of accuracy. In the same spirit as in [5], the method is based on two main ingredients. First, we embed our problem in a suitable "two-scal" reformulation with the introduction of an additional variable. Then a link is made with classical strategies based on Chapman-Enskog expansions in kinetic theory despite the dispersive context of the targeted equations, allowing to separate the fast time scale from the slow one. Uniformly accurate (UA) schemes are eventually derived from this new formulation and their properties and performances are assessed both theoretically and numerically.

研究の動機と目的

• 振動周波数 $\varepsilon$ のすべての範囲（非振動的、中間的、高振動的）で一様精度を維持する数値スキームの開発。
• 標準的なスキームが $\Delta t \lesssim \varepsilon^{q/p}$ を満たす必要があるという制限を克服し、$\varepsilon \to 0$ のときには実用的でなくなる問題に対処する。
• 漸近的モデルやその切り捨て誤差に依存しない一体的精度（UA）スキームの構築。
• $\varepsilon$ が小さいとは限らない場合でも、精度の次数が $\varepsilon$ に一様に保たれるようにすること。
• 漸近的保存性（AP）を保ちつつ、中間領域（APスキームが失敗する可能性がある領域）を含むすべての領域で一様収束するフレームワークの提供。

提案手法

• 補助変数 $\tau = t/\varepsilon$ を導入し、$U^\varepsilon(t,\tau)$ を定義することで、元の方程式を二尺度形式に埋め込む。ここで $u^\varepsilon(t) = U^\varepsilon(t, t/\varepsilon)$ である。
• 元の方程式を $(t,\tau)$ における双曲型PDEに再定式化する：$\partial_t U^\varepsilon + \frac{1}{\varepsilon} \partial_\tau U^\varepsilon = \mathcal{F}(t,\tau, U^\varepsilon)$。これにより、高速および低速のダイナミクスが分離可能となる。
• 二尺度系に対して形式的なチャップマン＝エンスコ展開を適用し、解をゆっくり変化する成分と速く変化する成分に分解することで、$\varepsilon$ のべき級数としての漸近展開が可能になる。
• 二尺度構造を尊重し、$\varepsilon$ に一様に精度の次数を保つように、時間分割法またはルンゲ＝クッタ法を用いて展開された系を近似することで、一体的精度（UA）スキームを構築する。
• 特に高周波成分が存在する場合に一様収束するように、グローバル誤差の一様性を確保するため、二尺度系における初期データを2次または3次まで補正する。
• 非線形ケイン・ゴールドン方程式および非線形シュレーディンガー方程式の両方に対して、$\varepsilon$ と $\Delta t$ を変化させた数値実験を行い、$H^1$ ノルムにおける誤差を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 振動パラメータ $\varepsilon$ のすべての値（$\varepsilon$ が小さいとは限らない場合を含む）で一様精度を維持する数値スキームを構築できるか？
• RQ2 漸近的モデルを導出することなく、二尺度形式を用いて高振動的PDEにおける高速および低速の時間ダイナミクスを分離する方法は何か？
• RQ3 二尺度系における初期データ補正が、グローバル誤差の一様性に与える影響は何か？
• RQ4 提案された手法は、$\varepsilon$ が大きくも小さくもない中間領域でも、精度の次数を一様に保つのか？
• RQ5 運動論的構造が存在しない分散型方程式においても、二尺度枠組みにおけるチャップマン＝エンスコ型展開を用いて一体的精度スキームを導出できるか？

主な発見

• 提案された一体的精度（UA）スキームは、$\varepsilon \in (0,\varepsilon_0]$ のすべての範囲で、非振動的（$\varepsilon \sim 1$）、中間的、高振動的（$\varepsilon \to 0$）のすべての領域で、その精度の次数が一様に保たれる。
• 数値実験の結果、二尺度系における初期データを2次または3次まで補正した場合、$H^1$ 相対誤差は $\varepsilon$ に一様に保たれるが、補正を行わない場合、著しく悪化することが判明した。
• 2次 UAスキームでは、初期データを3次まで補正した場合、$\varepsilon$ に一様に有界な誤差が得られ、すべての $\varepsilon$ 値で誤差が $\mathcal{O}(\Delta t^2)$ のスケーリングを示す。
• 初期データを補正しない場合、$\varepsilon$ に非一様な誤差が生じ、特に $\varepsilon$ が小さい場合に顕著になる。これは、一様収束を実現するには初期データ補正が不可欠であることを示している。
• 空間方向のフーリエモードの時間発展は、高次初期データ補正が $U(t,\tau=0,x)$ における高周波成分を抑制することを確認しており、理論的予想（$k \geq 1$ に対して $\mathcal{O}(\varepsilon^k)$ のモードのみが振動的である）と整合している。
• UAスキームによる数値解は、ストロボスコピック点 $t_k = 2\pi k \varepsilon$ でストラング分割法で計算された参照解と一致しており、二尺度形式の整合性が確認された。