[論文レビュー] Uniformly convex spiral functions and uniformly spirallike function associated with Pascal distribution series

G. Murugusundaramoorthy, Basem Aref Frasin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2020

Analytic and geometric function theory参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ハダマード積と係数推定を用いて、パスカル分布級数および関連関数が一様螺旋的関数および一様凸螺旋的関数のクラスに属するための必要十分条件を調査する。主な貢献は、パrameter $\alpha$, $\beta$, $q$, $m$ を含む明示的な不等式を導出することであり、これらは $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$ および $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$ への属性を決定する。特に、パスカル分布から導かれる関数およびその積分変換に注目する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to find the necessary and sufficient conditions and inclusion relations for Pascal distribution series to be in the classes SP_{p}(α,\b{eta}) and UCV_{p}(α,\b{eta}) of uniformly spirallike functions. Further, we consider properties of a special function related to Pascal distribution series. Several corollaries and consequences of the main results are also considered.

研究の動機と目的

• パスカル分布級数が一様螺旋的関数および一様凸螺旋的関数のクラス $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$ および $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$ に属するための必要十分条件を特定すること。
• パスカル分布級数と有界境界回転をもつ正則関数のクラス $\mathcal{R}^\tau(A,B)$ 間の包含関係を検討すること。
• 積分変換 $\mathcal{G}_q^m(z) = \int_0^z \frac{\Phi_q^m(t)}{t} dt$ の性質を分析し、同様の関数クラスへの属性を検証すること。
• 係数推定と不等式を通じて、一般化されたパスカル級数と既知の単値関数の部分クラスとの関係を確立すること。

提案手法

• 単位円板内における正則関数とのパスカル分布級数 $\Psi_q^m(z)$ のハダマード積（畳み込み）を用いる。
• 補題1.2および1.3から得られる係数条件を適用し、無限級数の不等式を用いて $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$ および $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$ への属性を特徴付ける。
• $\mathcal{R}^\tau(A,B)$ の係数境界 $|a_n| \leq (A-B)|\tau|/n$ を用いて、包含関係の十分条件を導出する。
• 母関数の恒等式と二項定理を用いて、二項係数および $q$ のべき乗を含む和の閉形式表現を導出する。
• 問題を、$\binom{n+m-2}{m-1} q^{n-1} (1-q)^m$ を含む級数の収束性の確認に変換し、$\cos\alpha$ および $\beta$ を含む閾値と比較する。
• 積分変換を用いて $\mathcal{G}_q^m(z)$ を定義し、同様の係数基準を適用して関数クラスへの属性を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\alpha$, $\beta$, $q$, $m$ がどのような条件下でパスカル分布級数 $\Phi_q^m(z)$ がクラス $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$ に属するか。
• RQ2 関数 $f \in \mathcal{R}^\tau(A,B)$ に対して、ハダマード積 $\mathcal{I}_q^m f(z)$ がクラス $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$ に属する条件は何か。
• RQ3 積分変換 $\mathcal{G}_q^m(z)$ が $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$ に属するための明確な条件は何か。
• RQ4 パラメータ $\beta = 0$ の場合、古典的な一様螺旋的および一様凸螺旋的関数クラスに還元されるとき、包含関係の結果はどのように変化するか。
• RQ5 係数制約の観点から、パスカル分布級数とクラス $\mathcal{R}^\tau(A,B)$ の間の関係は何か。

主な発見

• $\Phi_q^m(z)$ が $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$ に属するための必要十分条件は、不等式 $\frac{2q m}{1-q} + (2 - \cos\alpha - \beta)[1 - (1-q)^m] \leq \cos\alpha - \beta$ が成り立つことである。
• $\Phi_q^m(z)$ が $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$ に属するための必要十分条件は、$\frac{2q^2 m(m+1)}{(1-q)^2} + (6 - \cos\alpha - \beta)\frac{q m}{1-q} + (2 - \cos\alpha - \beta)[1 - (1-q)^m] \leq \cos\alpha - \beta$ が成り立つことである。
• $f \in \mathcal{R}^\tau(A,B)$ ならば、$\mathcal{I}_q^m f \in \mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$ であるための十分条件は、$(A-B)|\tau|\left(\frac{2q m}{1-q} + (2 - \cos\alpha - \beta)[1 - (1-q)^m]\right) \leq \cos\alpha - \beta$ が成り立つことである。
• 積分変換 $\mathcal{G}_q^m(z)$ が $\mathcal{UCT}_p(\alpha,\beta)$ に属するための必要十分条件は、$\Phi_q^m(z)$ が $\mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$ に属するための不等式と同一であり、ただし $\beta = 0$ である。
• $m > 1$ のとき、$\mathcal{G}_q^m(z) \in \mathcal{TSP}_p(\alpha,\beta)$ であるための必要十分条件は、$2[1 - (1-q)^m] - \frac{\cos\alpha + \beta}{q(m-1)}[(1-q) - (1-q)^m - q(m-1)(1-q)^m] \leq \cos\alpha - \beta$ が成り立つことである。
• $\beta = 0$ の場合、条件は $\frac{2q m}{1-q} + (2 - \cos\alpha)[1 - (1-q)^m] \leq \cos\alpha$ に簡略化され、他のクラスに対しても同様の形となる。