[論文レビュー] Uniformly distributed sequences of p-adic integers, II

Vladimir Anashin|ArXiv.org|Sep 30, 2002

advanced mathematical theories参考文献 10被引用数 41

ひとこと要約

本稿は、p=2を特に含め、p進整数環 ℤₚ 上のエルゴード的および測度を保つ関数を、明示的な式と算術演算およびビット単位演算の合成を用いて特徴づける。このような関数は、mを法として厳密に周期的で、一様分布する列を生成し、周期長がmに達する。これにより、最良の統計的性質と低い線形複雑度を備えた高品質な擬似乱数生成器の実装が可能になる。

ABSTRACT

The paper describes ergodic (with respect to the Haar measure) functions in the class of all functions, which are defined on (and take values in) the ring of p-adic integers, and which satisfy (at least, locally) Lipschitz condition with coefficient 1. Equiprobable (in particular, measure-preserving) functions of this class are described also. In some cases (and especially for p=2) the descriptions are given by explicit formulae. Some of the results may be viewed as descriptions of ergodic isometric dynamical systems on p-adic unit disk. The study was motivated by the problem of pseudorandom number generation for computer simulation and cryptography. From this view the paper describes nonlinear congruential pseudorandom generators modulo M which produce stricly periodic uniformly distributed sequences modulo M with maximal possible period length (i.e., exactly M). Both the state change function and the output function of these generators could be, e.g., meromorphic functions (in particular, polynomials with rational, but not necessarily integer coefficients, or rational functions), or compositions of arithmetical operations (like addition, multiplication, exponentiation, raising to integer powers, including negative ones) with standard computer operations, such as bitwise logical operations (XOR, OR, AND, etc.). The linear complexity of the produced sequences is also studied.

研究の動機と目的

• Lipschitz定数が1であるという条件を満たす ℤₚ 上のエルゴード的および測度を保つ関数を特定し、記述すること。
• 周期長が正確にmに達する厳密に周期的で一様分布する列を生成する非線形合同法生成器を構築すること。
• 算術演算およびビット単位演算（例：XOR、AND、OR）を用いた実用的な擬似乱数生成器を可能にし、高い統計的品質と低い線形複雑度を維持すること。
• 2進生成器における「低ビット効果」を解消するために、等確率出力関数を用いること。

提案手法

• ℚ[x] 上で定義された関数が、mを法として同等の生成器を誘導することを、p進Weierstrass定理を用いて示す。
• ℤ₂ 上での推移的およびエルゴード的関数に関する結果を応用し、ビット単位論理演算および有理数係数多項式を用いた生成器を構築する。
• 指数関数、逆数、および標準的なコンピュータ演算（例：XOR、シフト）の合成を用いて、状態遷移関数を定義する。
• すべてのkに対して関数が2^kを法として推移的である明示的条件を導出し、周期長が最大となることを保証する。
• 等確率（測度を保つ）関数を特徴づけ、2進生成器における「低ビット効果」を解消する。
• 非アーベル的動的システムの結果を応用し、p進単位円板上での等長的エルゴード的系を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lipschitz定数が1である関数 f: ℤₚ → ℤₚ で、ℤₚ 上のHaar測度に関してエルゴード的であるものはどれか？
• RQ2 周期長が正確にmに達する非線形合同法生成器を、どのようにして構築できるか？
• RQ3 特にビット単位演算を含む関数クラスの中で、ℤ₂ 上で推移的および測度を保つダイナミクスを示すものはどれか？
• RQ4 等確率関数は、2^kを法として生成される擬似乱数列における「低ビット効果」をどのようにして解消するか？
• RQ5 多項式生成器に関する結果を、有理数係数関数や f(x) = 1 + x + (1 + 200x)^{-1} のような合成関数へとどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• p=2の場合、ℤ₂ 上のすべてのエルゴード的および測度を保つ関数を明示的な式で記述でき、高品質な擬似乱数生成器を直接構築できる。
• f(x) = 1 + x + (1 + 200x)^{-1} のような関数は、すべてのk ≥ 1に対して10^kを法として推移的であり、周期長m = 10^kが最大となることが保証される。
• このような関数に基づく生成器は、mを法として一様分布する列を生成し、周期が正確にmに達する。これは、最も強い一様性基準を満たす。
• 等確率出力関数の使用により、一様分布が維持されるとともに、「低ビット効果」（下位ビットが短い周期を示す現象）が解消される。
• 生成された列の線形複雑度は有界であり、しばしば低い水準に保たれるため、暗号的およびシミュレーション用途に適している。
• 本稿は、有理数係数多項式およびビット単位演算（例：XOR、AND）との合成が、2^kを法として推移的ダイナミクスを生じさせることを確立しており、効率的かつ安全な実装を可能にする。