[論文レビュー] Uniformly gamma-radonifying families of operators and and the stochastic Weiss conjecture

Bernhard H. Haak, Jan van Neerven|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2006

Advanced Banach Space Theory参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、R-有界性とγ-ラドニコフ化を統一する均一γ-ラドニコフ化族の概念を導入し、確率的 Weiss予想に応用する。確率的初期値問題 dU(t) = AU(t)dt + B dW_H(t) に対して、不変測度が存在するための必要十分条件は、ある 0 < ϑ < π/2 に対して族 {√λR(λ,A)B : λ ∈ S_ϑ} が均一γ-ラドニコフ化であることである。これは、cotype が有限なバナッハ空間における確率的 Weiss予想に対する部分的解決を与える。

ABSTRACT

We introduce the notion of uniform gamma-radonification of a family of operators, which unifies the notions of R-boundedness of a family of operators and gamma-radonification of an individual operator. We study the the properties of uniformly gamma-radonifying families of operators in detail and apply our results to the stochastic abstract Cauchy problem $dU(t) = AU(t) dt + B dW(t); U(0) = 0$ Here, $A$ is the generator of a strongly continuous semigroup of operators on a Banach space $E$, $B$ is a bounded linear operator from a separable Hilbert space $H$ into $E$, and $W$ is an $H$-cylindrical Brownian motion. When $A$ and $B$ are simultaneously diagonalisable, we prove that an invariant measure exists if and only if the family $ \{\sqrtλ R(λ, A)B : λ&gt; 0\} $ is uniformly gamma-radonifying. This result can be viewed as a partial solution of a stochastic version of the Weiss conjecture in linear systems theory.

研究の動機と目的

• 作用素族の均一γ-ラドニコフ化族という概念を通じて、R-有界性とγ-ラドニコフ化を統一すること。
• バナッハ空間における確率的発展方程式における不変測度の存在に関する必要十分条件を確立すること。
• UMD 空間で cotype が有限な文脈において、確率的 Weiss予想に対する部分的解決を提供すること。
• バナッハ空間設定における作用素族への確率積分およびラプラス変換の理論を拡張すること。

提案手法

• 作用素族の均一γ-ラドニコフ化の概念を導入し、個々の作用素のR-有界性およびγ-ラドニコフ化を一般化すること。
• 均一γ-ラドニコフ化族の性質を分析し、合成および収束に関しての安定性を検討すること。
• γ-ラドニコフ化作用素のラプラス変換に理論を適用し、複素平面上の半平面上および扇形領域における均一γ-ラドニコフ化を示すこと。
• ラプラス変換の枠組みを用いて、{√λR(λ,A)B} のリゾルベント族のγ-ラドニコフ化ノルムを特徴付けること。
• 不変測度の存在と、扇形領域におけるリゾルベント族の均一γ-ラドニコフ化との同値性を確立すること。
• A と B が同時に対角化可能である場合に、均一γ-ラドニコフ化が (−A)^{−1/2}B のγ-ラドニコフ化を示唆することにより、確率的 Weiss予想を支援すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ある 0 < ϑ < π/2 に対して、族 {√λR(λ,A)B : λ ∈ S_ϑ} が均一γ-ラドニコフ化である条件は何か？
• RQ2 バナッハ空間 E が有限cotypeを満たすとき、確率的初期値問題 dU(t) = AU(t)dt + B dW_H(t) が不変測度をもつのはいつか？
• RQ3 族 {√λR(λ,A)B} の均一γ-ラドニコフ化は、(−A)^{−1/2}B がγ-ラドニコフ化であることと同値か？
• RQ4 扇形領域におけるリゾルベント族の均一γ-ラドニコフ化によって、確率的 Weiss予想は解けるか？
• RQ5 H^∞-計算と有限cotypeは、γ-ラドニコフ化および不変測度の存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• A と B が同時に対角化可能であるという仮定の下で、族 {√λR(λ,A)B : λ ∈ S_ϑ} が均一γ-ラドニコフ化であることと、確率的初期値問題が不変測度をもつことは同値である。
• 任意の 0 < ϑ < π/2 に対して、均一γ-ラドニコフ化ノルムは ‖𝒯_ϑ‖_unif-γ ≤ C_{A,B} / cos ϑ を満たし、C_{A,B} は A と B のみに依存する。
• 確率的 Weiss予想における (c) ⇒ (b) の含意 — すなわち、均一γ-ラドニコフ化が (−A)^{−1/2}B がγ-ラドニコフ化であることへと導くこと — は未解決であり、その解決に対して100ユーロの賞金が提示されている。
• A と B が同時に対角化可能であるとき、族 {√λR(λ,A)B} の均一γ-ラドニコフ化は、∑ₖ γₖ λₖ^{−1/2} βₖ xₖ の収束を示し、(−A)^{−1/2}B ∈ γ(H,E) を証明する。
• リゾルベント族のラプラス変換は、ℂ₊ 上で値が γ(H,E) である正則関数に拡張され、任意の 0 < ϑ < π/2 に対して、族は S_ϑ で均一γ-ラドニコフ化である。
• 本結果は、古典的 Weiss予想を確率的設定に拡張し、バナッハ空間における作用素族の観点から、不変測度の存在に関する必要十分条件を提供する。