[論文レビュー] Uniformly Positive Lyapunov Exponents for a Class of $C^2$ Quasiperiodic Schr\"odinger Cocycles

Yiqian Wang, Zhenghe Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2013

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、ディオファントス的周波数をもつ $C^2$ 準周期的シュレーディンガーコアールの力学系的枠組みに基づき、漸近的安定・不安定方向に注目することで、一様に正であるリャプノフ指数とエネルギーに関する弱ホルダー連続性を確立する。その結果、統合密度状態も弱ホルダー連続であることが示される。

ABSTRACT

We show that for a class of $C^2$ quasiperiodic potentials and for any Diophantine frequency, the Lyapunov exponents of the corresponding Schrodinger cocycles are uniformly positive and weak Holder continuous as function of energies. As a corollary, we also obtain that the corresponding integrated density of states (IDS) is weak Holder continous. Our approach is of purely dynamical systems, which depends on a detailed analysis of asymptotic stable and unstable directions. We also apply it to more general $\mathrm{SL}(2,\mathbb R)$ cocycles, which in turn can be applied to get uniform positivity and continuity of Lyapuonv exponents around unique nondegenerate extremal points of any smooth potential, and to a certain class of $C^2$ Szeg\H o cocycles.

研究の動機と目的

• ディオファントス的周波数をもつ $C^2$ な準周期的シュレーディンガーコアールのリャプノフ指数の一様な正の性質を確立すること。
• エネルギー関数としてのリャプノフ指数の弱ホルダー連続性を証明すること。
• 統合密度状態（IDS）の弱ホルダー連続性を、系の結果として導出すること。
• 一意的で非退化な極値点をもつ一般の $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ コアールにこの手法を拡張すること。
• 同様の正則性および正の性質を得られるように、$C^2$ シェゴコアールにこの枠組みを適用すること。

提案手法

• コアールの力学系フレームワークにおいて、漸近的安定・不安定方向を分析する。
• ポテンシャルの $C^2$ 正則性を用いて、伝達行列の振る舞いを制御する。
• ディオファントス的周波数条件を適用し、エネルギー全域にわたるリャプノフ指数の一様性を保証する。
• 滑らかなポテンシャルにおける非退化極値点の構造に基づく摂動的議論を用いる。
• シュレーディンガー型を超える一般の $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ コアールに対してもこの手法を拡張する。これには、シェゴタイプの系も含む。
• リャプノフ指数がゼロでなく、極限における一意的な不変方向が存在することに依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディオファントス的周波数をもつ $C^2$ な準周期的シュレーディンガーコアールに対して、リャプノフ指数が一様に正である条件は何か？
• RQ2 ポテンシャルの正則性は、エネルギー関数としてのリャプノフ指数の連続性にどのように影響するか？
• RQ3 安定・不安定方向に基づく力学系的アプローチは、シュレーディンガー設定を超えて、リャプノフ指数の一様な正の性質を導けるか？
• RQ4 同じ仮定のもとで、統合密度状態の正則性はいかほどか？
• RQ5 この手法は、シェゴーや直交多項式の文脈で生じる他の $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ コアールへ、どの程度一般化可能か？

主な発見

• $C^2$ な準周期的ポテンシャルと任意のディオファントス的周波数に対して、すべてのエネルギーにおいてリャプノフ指数が一様に正である。
• リャプノフ指数はエネルギーに関して弱ホルダー連続であり、連続性のモジュラスはディオファントス条件と $C^2$ ノルムに依存する。
• リャプノフ指数の正則性の結果として、統合密度状態（IDS）も弱ホルダー連続である。
• ポテンシャルに一意的で非退化な極値点をもつ一般の $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ コアールに対しても、この手法は適用可能であり、リャプノフ指数の一様な正の性質が保証される。
• この枠組みは、同様の一様正の性質と連続性結果を得られる $C^2$ シェゴコアールのクラスへ拡張可能である。
• 解析は、安定・不安定方向の存在および漸近的挙動に依拠しており、$C^2$ 正則性とディオファントス的周波数条件によって制御される。