[論文レビュー] Unifying Ghost-Free Lorentz-Invariant Lagrangians

Wenliang Li|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2015

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、反対称テンソル構造と微分形式を用いて、ゴーストを含まず、ローレンツ不変な場の理論のラグランジアンを構築する統一的枠組みを提示する。反対称クリロネッカー・デルタと、ホッジ双対性を一般化する新規の双対性を活用することで、既知の理論（アインシュタイン＝ヒルベルト、マクスウェル、ガリレオン、dRGT重力）を統一する幾何的定式化が得られ、ゴーストの不在は形式に内在する反対称インデックス構造に起因することが示された。

ABSTRACT

We present the details of the novel framework for Lagrangian field theories that are Lorentz-invariant and lead to at most second order equations of motion. The use of antisymmetric structure is of crucial importance. The general ghost-free Lagrangians are constructed and then translated into the language of differential forms. The ghost-freeness has a geometric nature. A novel duality is proposed which generalizes the Hodge duality in Maxwell's theory. We discuss how the well-established theories are reformulated and propose many new theories.

研究の動機と目的

• ゴースト的自由度を含まず、ローレンツ不変なラグランジュ場理論を構築する一般的枠組みを開発すること。
• 高次導関数場理論におけるゴーストの不在の幾何的起源を、反対称インデックス構造を通じて特定すること。
• アインシュタイン＝ヒルベルト、マクスウェル、ガリレオン、dRGT重力といった既知のゴースト自由理論を、微分形式を用いた共通の形式に再定式化すること。
• ホッジ双対性を拡張し、任意の反対称ラグランジアンに適用可能な一般化された双対性演算子を提案すること。
• このような理論における許容可能な項の有限性が、時空次元における反対称化の直接的結果であることを示すこと。

提案手法

• ゴーストを含まない一般ラグランジアンは、2本の反対称インデックス列からなる反対称クリロネッカー・デルタを用いて構築される。
• ラグランジアンは微分形式の言語で表現され、場強度と計量的構造は二重形式形式における (p,q)-形式として表される。
• リーマン・クリスティオ・記号を用いて、外部（時空）および内部（フレーム）インデックスから D-形式を構築することで、ゴーストの不在の幾何的解釈が可能になる。
• ホッジ双対性を一般化する新規な双対性が導入され、微分形式の反対称化された外積を介して (p,q)-形式を関連付ける。
• 標準ラグランジアン（例：アインシュタイン＝ヒルベルト、マクスウェル、ガリレオン）が二重形式言語に翻訳され、新しい双対性下で自己双対的構造が明らかになる。
• 2階微分方程式の運動方程式を保証するため、反対称化された縮約に制限することで、オストログラツキー不安定性を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゴーストの不在が共通の幾何的原理によって説明可能な、多様な場理論を統一的に説明する数学的枠組みを構築できるか？
• RQ2 反対称インデックス構造は、ローレンツ不変性および2階微分方程式の運動方程式の確保にどのような役割を果たすか？
• RQ3 マクスウェル理論におけるホッジ双対性は、高次導関数および高スピンラグランジアンにどのように一般化できるか？
• RQ4 このような理論におけるゴースト自由項の数が有限であるのはなぜか？ そしてこれは反対称化とどのように関係するか？
• RQ5 既知の修正重力理論およびスカラー・テンソル理論が、この二重形式形式に体系的に再定式化可能か？

主な発見

• 一般ゴースト自由ラグランジアンは、2本の反対称インデックス列からなる反対称クリロネッカー・デルタを用いて構築され、2階微分方程式の運動方程式が保証される。
• ゴーストの不在は、ラグランジアンの反対称化構造に起因する幾何的起源を持つことが示され、微調整とは無関係である。
• マクスウェルの運動項とアインシュタイン＝ヒルベルト項は、両方とも (4,4)-形式形式において自己双対的な二重形式として再定式化され、内部および外部フレーム変換に対して不変である。
• 一般相対性理論におけるローベルク項は、自己双対的な二重形式として示され、高カーブチャージュール重力への双対性構造の一般化が達成される。
• ガリレオン・ラグランジアンは、リーマン・クリスティオ記号を介して k-形式と (D-k)-形式の外積として表現され、作用の幾何的形が得られる。
• 提案された双対性はホッジ双対性を一般化し、反対称化された積を通じて (p,q)-形式を関連付けることで、異なる場理論における双対性構造を統一する。