[論文レビュー] Unintegrated gluon distributions from the transverse coordinate representation of the CCFM equation in the single loop approximation

J. Kwieciǹski|ArXiv.org|Mar 18, 2002

Particle physics theoretical and experimental studies被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、単一ループ近似におけるCCFM方程式の横座標表現を用いて、非統合グルーオン分布の正確な解析的解を提示する。フーリエ・ベッセル変換を用いて方程式を対角化することで、モーメント関数 $ f_\omega(b,Q) $ の正確な表現が得られ、それらが非統合分布と統合分布の間の近似関係の分析および検証に用いられ、横運動量の境界領域を除き良好な一致が得られた。

ABSTRACT

We utilise the fact that the CCFM equation in the single loop approximation can be diagonalised by the Fourier-Bessel transform. The analytic solution of the CCFM equation for the moments $f_ω(b,Q)$ of the scale dependent gluon distribution is obtained, where $b$ is the transverse coordinate conjugate to the transverse momentum of the gluon. The unintegrated gluon distributions obtained from this solution are analysed. It is shown how the approximate treatment of the exact solution makes it possible to express the unintegrated gluon distributions in terms of the integrated ones. The corresponding approximate expressions for the unintegrated gluon distribution are compared with exact solution of the CCFM equation in the single loop approximation.

研究の動機と目的

• 横座標表現を用いて、単一ループ近似におけるCCFM方程式を解析的に解くこと。
• フーリエ・ベッセル変換を経由して、正確な解から非統合グルーオン分布を導出すること。
• DGLAP領域における非統合分布と統合分布の間の近似関係を検討・検証すること。
• 数値的に、正確な解と近似式を比較し、特に物理的に関係の深い領域 $ x \geq 0.01 $ において評価すること。

提案手法

• CCFM方程式が単一ループ近似においてフーリエ・ベッセル変換を用いて横座標空間に変換され、方程式が対角化される。
• モーメント関数 $ f_\omega(b,Q) $ が横座標空間で解析的に解かれ、ここで $ b $ は横運動量 $ Q_t $ に共役である。
• モーメント関数の逆フーリエ・ベッセル変換により非統合グルーオン分布が再構成される。
• 解は、DGLAPダイナミクスから導かれた近似式と比較され、特に $ f(x,Q_t,Q) $ と統合グルーオン分布 $ g(x,Q^2) $ の関係に注目する。
• 数値結果は、入力の非摂動的分布 $ \bar{f}^0(x,b) = \frac{g_0(x)}{2} \exp(-b^2 q_0^2 / 4) $ を用いて生成され、ここで $ g_0(x) = 3(1-x)^5 $ かつ $ q_0 = 1\,\text{GeV} $ である。
• 近似式の妥当性は、異なる $ x $ および $ Q_t $ 値における正確な解との比較によって評価される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一ループ近似におけるCCFM方程式は、フーリエ・ベッセル変換を用いて横座標空間で正確に解けるか？
• RQ2 DGLAP進化に基づく非統合グルーオン分布の近似式は、正確な解からどのように導かれるか？
• RQ3 異なる $ x $ および $ Q_t $ において、これらの近似式の定量的精度は正確な解と比べてどの程度か？
• RQ4 正確な解が非自明な振る舞いを示す境界領域 $ Q_t^2 \sim Q_0^2 $ および $ Q_t^2 \sim Q^2 $ において、近似式の性能はいかがなものか？

主な発見

• 単一ループ近似におけるCCFM方程式は、フーリエ・ベッセル変換を用いて横座標空間で正確に解くことができ、モーメント関数 $ f_\omega(b,Q) $ の解析的表現が得られた。
• 正確な解により、逆フーリエ・ベッセル変換を経由して非統合グルーオン分布が導出可能であり、近似モデルの厳密なベンチマークを提供する。
• 式 (36) は、より改善された近似形式であり、単純な式 (34) よりも中間的 $ Q_t $ 範囲で正確な解と良好な一致を示す。
• 式 (34) は小 $ Q_t $ において妥当な近似を与えるが、$ x \sim 0.1 $ で大きく $ Q_t^2 $ となる領域では物理的に意味のない負の値をとる可能性がある。
• 近似式 (36) は境界領域 $ Q_t^2 \sim Q_0^2 $ および $ Q_t^2 \sim Q^2 $ を除き良好に性能を発揮するが、ここで正確な解は非自明な振る舞いを示す。
• 本研究により、横座標表現が単一ループ領域におけるCCFM方程式の解析的洞察に強力なツールであることが確認された。この手法は、この近似を超えて広く応用可能である可能性を有する。