[論文レビュー] Unipotent almost characters of simple p-adic groups

G. Lusztig|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、旗多様体の幾何と等変コホモロジーを用いて、単純な p-進群の非可換ほとんど文字を構成し、コンパクトな台付きコホモロジーに自然な S-加群構造を確立する。主な貢献は、Lusztigのキャラクター理論を通じて表現論と幾何的不変量を結ぶ、対称代数 S からコホモロジーリングへの自然な代数準同型写像の構成である。

ABSTRACT

Let G be a simple adjoint group and let K=k((ε)) where k is an algebraic closure of a finite field F_q. In this paper we define some geometric objects on G(K) which are similar to the (cohomology sheaves of) the unipotent character sheaves on G(k). Using these geometric objects we define the unipotent almost characters of G(K_0) where K_0=F_q((ε)) and state some conjectures relating them to the characters of unipotent representations of G(K_0).

研究の動機と目的

• 幾何的およびコホモロジー的手段を用いて、単純な p-進群の非可換ほとんど文字を定義し構成すること。
• 代数準同型写像を通じて、旗多様体のコンパクトな台付きコホモロジーに自然な S-加群構造を確立すること。
• 等変コホモロジーアルゲブラを用いて、Lusztigのキャラクター理論を p-進群の設定へ一般化すること。
• Langlands双対群の作用下での対称代数 S と旗多様体 X のコホモロジーの間の関係を明確にすること。
• 双対群 GˇS-不変空間のコホモロジーを用いた非可換文字の幾何的実現を提供すること。

提案手法

• Lie代数 z†J に付随する対称代数 S = ⊕r≥0 S2r を、z†J の元を次数 2 に持つように次数づける。
• 安定化部分群と点空間のコホモロジーを介する同型写像の鎖を通じて、S を H∙GˇS(X, Q¯l) に同定する。
• カップ積構造と等変コホモロジーから通常コホモロジーへの自然な写像を用いて、S から H∙(X, Q¯l) への代数準同型写像を構成する。
• カップ積と代数準同型写像を介して、コンパクトな台付きコホモロジー H∙c(X, E) に S-加群構造を導入する。
• Lusztigの以前の研究結果（例えば [L4, 4.2]）における中心化群とパラボリック部分群を含むコホモロジー同型の結果を適用する。
• 中心化群 M⁰ が ZGJ⁰ と非可換部分群の直積に同型であるという事実に依拠し、コホモロジーを点のコホモロジーに還元可能とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的表現論を用いて、単純な p-進群の非可換ほとんど文字を体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 対称代数 S と旗多様体 X の等変コホモロジーの間の正確な関係は何か？
• RQ3 カップ積と代数準同型写像から、H∙c(X, E) に S-加群構造がどのように生じるか？
• RQ4 旗多様体 X のコホモロジーは、Langlands双対群の作用を通じてどのように非可換文字を実現するか？
• RQ5 中心化群 M = ZGJ(g₀) は、S ≅ H∙GˇS(X, Q¯l) に至る同型鎖を確立する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 対称代数 S は、自然に GˇS-等変コホモロジーアルゲブラ H∙GˇS(X, Q¯l) に同型である。
• S から H∙(X, Q¯l) への代数準同型写像が構成され、S が通常コホモロジーリングの部分代数として実現される。
• コンパクトな台付きコホモロジー H∙c(X, E) は、カップ積と代数準同型写像を介して自然な S-加群構造を備える。
• 同型鎖により、等変コホモロジーは H∙M(point) に還元され、これは H∙ZGJ⁰(point) に同型であり、対称代数への接続が確立される。
• この構成により、双対群作用下の旗多様体のコホモロジーを用いた非可換ほとんど文字の幾何的実現が得られる。
• この方法により、H∙c(X, E) に自然な S-加群構造が存在することが確認され、Lusztigのキャラクター理論を p-進群へ拡張する上で不可欠である。