[論文レビュー] Unipotent representations of real classical groups

Jia-Jun Ma, Binyong Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特定の可解部分群に付随する、実古典的群（直交群、シミプレクティック群、またはそのクaternion的類似物）のすべての単位的表現を、θリフトを用いて構成し、それらの単位的性を証明する。固定された偶奇性 $\mathbb{p}$ に対して、安定的に自明な特別な可解部分群の集合を定義し、これらの部分群から生じる単位的表現が単位的であることを示し、必要に応じてメタプレクティック被覆へ拡張する。

ABSTRACT

Let $\mathbf G$ be a complex orthogonal or complex symplectic group, and let $G$ be a real form of $\mathbf G$, namely $G$ is a real orthogonal group, a real symplectic group, a quaternionic orthogonal group, or a quaternionic symplectic group. For a fixed parity $\mathbb p\in \mathbb Z/2\mathbb Z$, we define a set $\mathrm{Nil}^{\mathbb p}_{\mathbf G}(\mathfrak g)$ of nilpotent $\mathbf G$-orbits in $\mathfrak g$ (the Lie algebra of $\mathbf G$). When $\mathbb p$ is the parity of the dimension of the standard module of $\mathbf G$, this is the set of the stably trivial special nilpotent orbits, which includes all rigid special nilpotent orbits. For each $\mathcal O \in \mathrm{Nil}^{\mathbb p}_{\mathbf G}(\mathfrak g)$, we construct all unipotent representations of $G$ (or its metaplectic cover when $G$ is a real symplectic group and $\mathbb p$ is odd) attached to $\mathcal O$ via the method of theta lifting and show in particular that they are unitary.

研究の動機と目的

• 固定された偶奇性 $\mathbb{p} \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ に基づき、複素古典的群のリー代数における安定的に自明で特別な可解部分群の標準的集合を定義すること。
• 複素直交群またはシミプレクティック群の実形式 $G$ に付随する、これらの可解部分群に付随するすべての単位的表現を分類すること。
• θリフトの手法を用いて、これらの単位的表現の単位的性を確立すること。
• 群 $G$ が実シミプレクティック群で $\mathbb{p}$ が奇数である場合、構成をメタプレクティック被覆へ拡張すること。

提案手法

• 偶奇性 $\mathbb{p} \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ に基づき、リー代数 $\mathfrak{g}$ 内の $\mathbf{G}$-可解部分群の集合 $\mathrm{Nil}^{\mathbb{p}}_{\mathbf{G}}(\mathfrak{g})$ を定義する。
• $\mathbb{p}$ が標準的モジュール次元の偶奇性と一致する場合、$\mathrm{Nil}^{\mathbb{p}}_{\mathbf{G}}(\mathfrak{g})$ を安定的に自明な特別な可解部分群の集合として特定する。
• θリフトの手法を用いて、$G$（またはそのメタプレクティック被覆）の単位的表現をこれらの部分群から構成する。
• θ対応における双対ペア対応の構造を用いて、構成された表現が単位的であることを保証する。
• $G$ が実シミプレクティック群で $\mathbb{p}$ が奇数である場合、メタプレクティック被覆へのリフトを処理する。
• θ対応の性質を用いて、$\mathrm{Nil}^{\mathbb{p}}_{\mathbf{G}}(\mathfrak{g})$ に属する部分群に付随するすべての単位的表現が単位的であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素古典的群のリー代数において、与えられた偶奇性 $\mathbb{p}$ に対して、安定的に自明で特別な可解部分群に一致するのはどの部分群か？
• RQ2 これらの可解部分群から、実古典的群の単位的表現を体系的にどのように構成できるか？
• RQ3 群 $G$ が実シミプレクティック群で $\mathbb{p}$ が奇数である場合、メタプレクティック被覆は単位的表現の構成において果たす役割は何か？
• RQ4 すべての単位的表現が $\mathrm{Nil}^{\mathbb{p}}_{\mathbf{G}}(\mathfrak{g})$ に属する可解部分群に付随しているか？
• RQ5 偶奇性 $\mathbb{p}$ と単位的表現の構造との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• $\mathbb{p}$ が標準的モジュール次元の偶奇性と一致する場合、集合 $\mathrm{Nil}^{\mathbb{p}}_{\mathbf{G}}(\mathfrak{g})$ は安定的に自明で特別な可解部分群から成る。
• 集合 $\mathrm{Nil}^{\mathbb{p}}_{\mathbf{G}}(\mathfrak{g})$ に属する部分群に付随する、$G$ のすべての単位的表現は、θリフトを用いて構成される。
• 構成された単位的表現は、θ対応の単位的性の性質によって保証されるため、単位的である。
• $G$ が実シミプレクティック群で $\mathbb{p}$ が奇数である場合、構成は $G$ のメタプレクティック被覆へ拡張される。
• この手法は、指定された可解部分群に付随するすべての単位的表現を一様に生成する。
• この構成は、実古典的群における指定された可解部分群に対して、単位的表現の完全な分類を提供する。