[論文レビュー] Unique determination of coefficients and kernel in nonlocal porous medium equations with absorption term

Yi‐Hsuan Lin, Philipp Zimmermann|arXiv (Cornell University)|May 25, 2023

Numerical methods in inverse problems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、吸収項を含む非局所的多孔質媒体方程式 $\rho\partial_t u + L_K(u^m) + qu = 0$ ($m>1$) における係数 $\rho$、$q$、およびカーネル $K$ の一意特定を、部分的ディリクレからノイマン写像から行う。グレーゲルン法による存在性の証明、比較原理、および一意的拡張性の仮定の下での漸近解析を用いて、一様楕円的かつ正則性の仮定のもとで、DN写像が $\rho$、$K$、$q$ を一意に特定できることを示している。分数階導出作用素に対しても同様の結果が成り立つ。

ABSTRACT

The main purpose of this article is the study of an inverse problem for nonlocal porous medium equations (NPMEs) with a linear absorption term. More concretely, we show that under certain assumptions on the time-independent coefficients $ρ,q$ and the time-independent kernel $K$ of the nonlocal operator $L_K$, the (partial) Dirichlet-to-Neumann map uniquely determines the three quantities $(ρ,K,q)$ in the nonlocal porous medium equation $ρ\partial_tu+L_K(u^m)+qu=0$, where $m>1$. In the first part of this work we adapt the Galerkin method to prove existence and uniqueness of nonnegative, bounded solutions to the homogenoeus NPME with regular initial and exterior conditions. Additionally, a comparison principle for solutions of the NPME is proved, whenever they can be approximated by sufficiently regular functions like the one constructed for the homogeneous NPME. These results are then used in the second part to prove the unique determination of the coefficients $(ρ,K,q)$ in the inverse problem. Finally, we show that the assumptions on the nonlocal operator $L_K$ in our main theorem are satisfied by the fractional conductivity operator $\mathcal{L}_γ$, whose kernel is $γ^{1/2}(x)γ^{1/2}(y)/|x-y|^{n+2s}$ up to a normalization constant.

研究の動機と目的

• 吸収項を含む非線形非局所PDEにおける未知の係数および非局所的カーネルを特定する逆問題に取り組む。
• 部分境界測定値から非局所的多孔質媒体方程式における係数 $\rho$、$K$、$q$ の一意性を確立する。
• 線形非局所作用素からの逆問題技法を、吸収項を含む非線形方程式へと拡張する。
• 分数階導出作用素 $\mathcal{L}_\gamma$ が非局所作用素に関する仮定を満たしているかどうかを検証する。

提案手法

• 正則な初期および外部データを備えた同次非局所的多孔質媒体方程式に対する非負かつ有界な解の存在および一意性を示すために、ガレルキン法を適応する。
• 十分に正則な関数による近似の下で、解の比較原理を確立する。
• 初期時刻近傍における解の漸近的挙動を分析するため、時間積分変換を導入する。
• 漸近解析を適用して、ディリクレからノイマン写像から係数に関する情報を抽出する。
• 一意的拡張性原理とランゲ近似性質を用いて、DN写像と未知係数を結びつける。
• 分数階導出作用素 $\mathcal{L}_\gamma$（カーネル $K(x,y) = C_{n,s} \gamma^{1/2}(x)\gamma^{1/2}(y)$）が、$K$ に関する必要な仮定を満たしていることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 吸収項を含む非局所的多孔質媒体方程式における係数 $\rho$、$q$、およびカーネル $K$ は、部分的ディリクレからノイマン写像から一意に特定可能か？
• RQ2 正則関数による近似がなされた場合、非局所的多孔質媒体方程式の解に対して比較原理は成立するか？
• RQ3 この逆問題の文脈において、非局所作用素 $L_K$ に対して一意的拡張性原理が適用可能か？
• RQ4 $K$ に関する仮定は分数階導出作用素 $\mathcal{L}_\gamma$ に対して成立するか？
• RQ5 与えられた正則性および楕円的条件のもとで、DN写像は $\rho$、$K$、$q$ を一意に特定可能か？

主な発見

• 部分的ディリクレからノイマン写像は、非局所的多孔質媒体方程式における時間に依存しない係数 $\rho$、$q$、および非局所作用素 $L_K$ のカーネル $K$ を一意に特定する。
• 正則な初期および外部データのもとで、ガレルキン法を用いて、同次非局所的多孔質媒体方程式に対する非負かつ有界な解の存在および一意性が確立される。
• 十分に正則な関数による近似が可能な解に対して、比較原理が証明され、下位解および上位解の比較が可能になる。
• 変換された解の漸近解析により、時間の初期に近づく極限において、DN写像が $\rho$、$K$、$q$ に関する情報を保持していることが明らかになった。
• 非局所作用素 $L_K$ に関する仮定は、カーネルが $K(x,y) = C_{n,s} \gamma^{1/2}(x)\gamma^{1/2}(y)$ である分数階導出作用素 $\mathcal{L}_\gamma$ に対しても満たされている（$\gamma$ は一様楕円的）。
• 一意的拡張性原理は、追加の対称性の仮定がない状況においても、係数構造の完全な特定を保証する基盤的ツールとして用いられている。