[論文レビュー] Unique ergodicity of free shifts and some other automorphisms of C*-algebras

Beatriz Abadie, Ken Dykema|ArXiv.org|Aug 9, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、還元型アーメラメートド自由積 C*-代数上の自由シフト自己同型について、固定点部分代数に関する一意的エルゴディシティを定義し、それを証明する。また、エルゴディック平均のノルム収束を確立し、この設定においてハーガープの不等式を一般化する。$ C^*_r(\mathbb{F}_\infty) $ における自由シフトおよび性質 (RD) を持つ特定の群 C*-代数における自由シフトは、それらの固定点部分代数に関して一意的エルゴディックであることが示される。

ABSTRACT

A notion of unique ergodicity relative to the fixed-point subalgebra is defined for automorphisms of unital C*-algebras. It is proved that the free shift on any reduced amalgamated free product C*-algebra is uniquely ergodic relative to its fixed-point subalgebra, as are autormorphisms of reduced group C*-algebras arising from certain automorphisms of groups. A generalization of Haagerup's inequality, yielding bounds on the norms of certain elements in reduced amalgamated free product C*-algebras, is proved.

研究の動機と目的

• ユニタリ C*-代数の自己同型について、固定点部分代数に関する一般化された一意的エルゴディシティの概念を定義し、研究すること。
• 還元型アーメラメートド自由積 C*-代数上の自由シフト自己同型が、それらの固定点部分代数に関して一意的エルゴディックであるかどうかを調査すること。
• 固定ブロック長の要素について、還元型アーメラメートド自由積 C*-代数の設定において、ハーガープの不等式を拡張すること。
• 性質 (RD) を持つ C*-代数上の自己同型について、エルゴディック平均のノルム収束を確立し、エルゴディシティと作用素ノルムの上限を結びつけること。
• リカルドとシュウの先行研究から従うものの、一般化されたハーガープ型不等式に対して直接的な証明を提供すること。

提案手法

• 固定点部分代数 $ A^\alpha $ に関する一意的エルゴディシティの新しい概念を導入し、$ A^\alpha $ 上の任意の状態が $ A $ 上の $ \alpha $-不変状態に一意に拡張可能であることを特徴づける。
• 定理 3.2 で確立されたように、$ A^\alpha $ に関する一意的エルゴディシティと、すべての $ a \in A $ についてのエルゴディック平均 $ \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \alpha^k(a) $ のノルム収束との同値性を用いる。
• 一般化されたハーガープ不等式（命題 5.1）を適用し、還元型アーメラメートド自由積 C*-代数における固定ブロック長 $ n $ の単語の線形結合の作用素ノルムを評価する。
• ヒルベルト空間表現 $ \tilde{\sigma} $ を用いて、コーシー・シュワルツの不等式とブロック長に依存する境界を用いて、エルゴディック平均のノルムを推定する。
• 埋め込み $ \lambda_a^i \mapsto \lambda_a^{i+1} $ のインデックスのシフトにより、還元型アーメラメートド自由積 $ A = (*_B)_{i \in \mathbb{Z}} (A_i, \phi_i) $ 上に自由シフト自己同型 $ \alpha $ を構成する。
• 単語 $ w = a_1 \cdots a_p $ で $ a_i \in A_{k(i)}^\circ $ を満たすものについて、一般化された不等式を用いて、$ n \to \infty $ のとき、エルゴディック平均 $ \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \alpha^k(w) $ がノルムでゼロに収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ C^*_r(\mathbb{F}_\infty) $ 上の自由シフトは、その固定点部分代数に関して一意的エルゴディックであるか？
• RQ2 固定点部分代数に関する一意的エルゴディシティの概念を、還元型アーメラメートド自由積 C*-代数の自己同型へ拡張できるか？
• RQ3 還元型アーメラメートド自由積 C*-代数において、固定ブロック長の要素のノルムを制御する一般化されたハーガープ不等式が成り立つか？
• RQ4 性質 (RD) を持つ群から生じる還元型群 C*-代数の自己同型は、それらの固定点部分代数に関して一意的エルゴディックであるか？
• RQ5 エルゴディック平均のノルム収束は、$ A^\alpha $ への一意的 $ \alpha $-不変条件付き期待値の存在を示唆するか？（未解決問題）

主な発見

• 還元型アーメラメートド自由積 $ C^* $-代数 $ A = (*_B)_{i \in \mathbb{Z}} (A_i, \phi_i) $ 上の自由シフト自己同型 $ \alpha $ は、固定点部分代数 $ B $ に関して一意的エルゴディックであり、すべての $ a \in A $ についてエルゴディック平均が $ \phi(a) $ にノルム収束することによって示される。
• $ a_i \in A_{k(i)}^\circ $ かつ $ k(i) \neq k(i+1) $ を満たす単語 $ w = a_1 \cdots a_p $ について、エルゴディック平均は $ \left\| \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \alpha^k(w) \right\| \leq \frac{1}{n}(2p+1)n^{1/2} \prod_{i=1}^p \|a_i\| $ を満たし、$ n \to \infty $ のときゼロに収束する。
• 一般化されたハーガープ不等式（命題 5.1）は、ブロック長 $ n $ の単語の線形結合 $ f $ の作用素ノルムを $ (2n+1) \gamma $ で上から抑える。ここで $ \gamma = \left( \sum_{k \in \mathcal{K}} \prod_{i=1}^n \|a_{k,i}\|^2 \right)^{1/2} $ である。
• 一般化されたハーガープ不等式の証明では、ヒルベルト空間上の忠実な $ \ast $-表現 $ \tilde{\sigma} $ を用い、エルゴディック平均のノルムを制御するためにコーシー・シュワルツの不等式を適用する。
• この結果により、$ C^*_r(\mathbb{F}_\infty) $ 上の自由シフトが一意的エルゴディックであることが示され、デイヴィッド・ケラーが提起した問いに対して肯定的な答えが得られた。
• 著者らは、リカルドとシュウの一般結果から従うものの、一般化されたハーガープ不等式に対してより単純な直接的証明を提供している。