[論文レビュー] Uniqueness and Lagrangianity for solutions with lack of integrability of the continuity equation

Laura Caravenna, Gianluca Crippa|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、解が局所可積分性を欠く場合に、Sobolev型ベクトル場を伴う連続の方程式の分布的解について、一意性とラグランジュ的性質を確立する。DiPerna-Lions枠組みを超えて、解が局所可積分性を欠く場合の一般化を達成する。新規の方向的リプシッツ拡張補題と流れに沿った分解を導入し、テスト関数を構成することで、$L^1_{\text{loc}}$ 解がベクトル場の正則ラグランジュ流れによって一意に輸送されることを証明する。

ABSTRACT

We deal with the uniqueness of distributional solutions to the continuity equation with a Sobolev vector field and with the property of being a Lagrangian solution, that means transported by a flow of the associated ordinary differential equation. We work in a framework with lack of local integrability of the solution, in which the classical DiPerna-Lions theory of uniqueness and Lagrangianity of distributional solutions does not apply due to the insufficient integrability of the commutator. We introduce a general principle to prove that a solution is Lagrangian: we rely on a disintegration along the unique flow and on a new directional Lipschitz extension lemma, used to construct a large class of test functions in the Lagrangian distributional formulation of the continuity equation.

研究の動機と目的

• DiPerna-Lions理論におけるギャップに対処する。特に、交換子を制御できる十分な可積分性を解が欠く場合に、
• Sobolev型ベクトル場を伴う連続の方程式の $L^1_{\text{loc}}$ 解における一意性を確立する。
• このような解がラグランジュ的である、すなわち、ベクトル場に付随する一意な正則ラグランジュ流れによって輸送されることを証明する。
• 分布的定式化において流れのリプシッツ正則性が欠如している状況を克服するため、十分に豊かなテスト関数のクラスを構築する。
• 分解と方向的拡張を用いて、低可積分性領域におけるラグランジュ的性質を証明する一般原理を提供する。

提案手法

• ベクトル場に付随する一意な正則ラグランジュ流れに沿って解を分解する。
• テスト関数を構成するための新しい方向的リプシッツ拡張補題を導入し、それらが流れの線に沿って $L$-リプシッツであり、同時にユークリッド空間でリプシッツであるようにする。
• 流れの退化した距離 $d_0$ に $λ \downarrow 0$ の極限で収束する中間的距離 $d_\lambda$ の族を定義する。
• McShaneの拡張定理を用いて、コンパクトな流れチューブから $d_\lambda$ 距離を用いて全空間へテスト関数を拡張する。
• $\mathrm{Lip}(\psi; d_\lambda) \to \mathrm{Lip}(\psi; d_0)$ として $λ \downarrow 0$ の極限でリプシッツ定数を制御する。
• 得られた拡張されたテスト関数を分布的定式化に適用し、ラグランジュ的性質を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解が局所可積分性を欠く場合に、連続の方程式の分布的解について、一意性とラグランジュ的性質を確立できるか？
• RQ2 流れがリプシッツでない場合に、ラグランジュ的定式化において十分に豊かなテスト関数のクラスを構築することは可能か？
• RQ3 流れの線に沿った正則性を制御しつつ、ユークリッド正則性を保つ方向的リプシッツ拡張補題を開発することは可能か？
• RQ4 交換子が低可積分性領域でも制御可能であるためのベクトル場の条件は何か？
• RQ5 流れに沿った分解を用いて、$L^1_{\text{loc}}$ 解が流れによって一意に輸送されることをどのように証明できるか？

主な発見

• 与えられた仮定のもとで、連続の方程式のコーシー問題は、$L^1_{\text{loc}}([0,T] \times \mathbb{R}^n)$ 内で一意な解を持つ。
• 一意な解はラグランジュ的である。これは、ベクトル場に付随する一意な正則ラグランジュ流れによって輸送されることを意味する。
• 解は同時に再正規化可能であり、再正規化性質が $L^1_{\text{loc}}$ 領域へ拡張される。
• 方向的リプシッツ拡張補題により、テスト関数を流れチューブから全空間へ拡張でき、流れの線に沿った正則性とユークリッド正則性の両方を保つことができる。
• $\mathrm{Lip}(\psi; d_\lambda) \to \mathrm{Lip}(\psi; d_0)$ として $λ \downarrow 0$ の極限でリプシッツ定数の制御が可能であることが、流れに沿った正則性制御に不可欠である。
• 仮定として、$\boldsymbol{b}(t,\cdot)$ が $\mathcal{L}^1$-a.e. $t$ で連続であり、コンパクト集合上で時間に一様な連続性のモジュラスを持つことが必要である。