[論文レビュー] Uniqueness and stability for the recovery of a time-dependent source and initial conditions in elastodynamics

Guanghui Hu, Yavar Kian|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 1被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、境界ディリクレデータを用いた弾性動力学における時刻に依存する源および初期条件を回復する際の一意性と安定性を確立する。空間的・時間的コンpactな支持を持つ分離可能な源に対して、外部領域では空間的成分が一意に特定可能である。全空間では、時間および2つの空間変数に依存する源の安定回復には、部分的な境界データで十分である。

ABSTRACT

This paper is concerned with inverse source problems for the time-dependent Lame system and the recovery of initial data in an unbounded domain corresponding to the exterior of a bounded cavity or the full space. If the time and spatial variables of the source term can be separated with compact support, we prove that the vector valued spatial source term can be uniquely determined by boundary Dirichlet data in the exterior of a given cavity. If the cavity is absent, uniqueness and stability for recovering source terms depending on the time variable and two spatial variables in the whole space are also obtained using partial Dirichlet boundary data.

研究の動機と目的

• 時刻に依存する源を回復する逆問題に取り組む。
• 非有界領域における初期条件の同定に関して、一意性と安定性を確立する。
• 時間および空間変数が分離可能な場合の空間的源項の回復を分析する。
• 部分的ディリクレ境界データを用いて、全空間における結果を拡張する。
• 非有界な弾性媒体における逆源問題の理論的基盤を提供する。

提案手法

• 弾性波の伝播を前向きモデルとして、時間に依存するラメ方程式を用いる。
• 時間および空間でコンパクトなサポートを持つ分離可能な源項を仮定する。
• 空洞の外縁または全空間における境界の一部で測定された境界ディリクレデータを用いる。
• 積分表現公式およびエネルギー推定を用いて、一意性と安定性を導出する。
• 微局所解析およびカルレマン推定を用いて、逆問題の不適切性を扱う。
• 有界な空洞を有する外部領域および全空間の両方を、幾何的設定として考察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時刻に依存する源の空間的成分は、外部領域において境界ディリクレデータから一意に回復可能か？
• RQ2 空洞が存在しない状況で境界測定値のみを用いて初期条件は一意に回復可能か？
• RQ3 全空間において部分的境界データを用いた源の回復において、どのような条件下で安定性が保証されるか？
• RQ4 時間および空間変数の分離性は、源項の同定可能性にどのように影響するか？
• RQ5 コンパクトサポートは、一意性および安定性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 源が時間および空間でコンパクトにサポートされ、かつ分離可能な場合、空間的源項は境界ディリクレデータによって一意に特定可能である。
• 有界な空洞の外部領域において、源の回復に関して一意性と安定性が確立されている。
• 全空間では、部分的ディリクレ境界データを用いて安定回復が達成されている。
• 本手法は、時間および2つの空間変数に依存する源に適用可能である。
• 最小限の幾何的仮定（非有界領域を含む）のもとで、結果は成り立つ。
• 解析は、エネルギー推定およびカルレマン型不等式に依存し、逆問題の不適切性を制御する。