[論文レビュー] Uniqueness and stability of an inverse problem for a semi-linear wave equation

Matti Lassas, Tony Liimatainen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 55被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、半線形波動方程式 $ \square u + a u^m = 0 $ における時間依存ポテンシャル $ a(x,t) $ の回復に関して、ディリクレ・トゥ・ノイマン写像からの Hölder 穏定性と一意性を確立する。高次線形化と構成的解析を用いて、ノイズのある境界データに対しても安定回復が可能であることを証明し、非線形波動方程式における逆問題の定量的枠組みを提供する。数学的物理および画像処理への応用を想定している。

ABSTRACT

We consider the recovery of a potential associated with a semi-linear wave equation on $\mathbb{R}^{n+1}$, $n\geq 1$. We show a Hölder stability estimate for the recovery of an unknown potential $a$ of the wave equation $\square u +a u^m=0$ from its Dirichlet-to-Neumann map. We show that an unknown potential $a(x,t)$, supported in $Ω imes[t_1,t_2]$, of the wave equation $\square u +a u^m=0$ can be recovered in a Hölder stable way from the map $u|_{\partial Ω imes [0,T]}\mapsto \langleψ,\partial_νu|_{\partial Ω imes [0,T]} angle_{L^2(\partial Ω imes [0,T])}$. This data is equivalent to the inner product of the Dirichlet-to-Neumann map with a measurement function $ψ$. We also prove similar stability result for the recovery of $a$ when there is noise added to the boundary data. The method we use is constructive and it is based on the higher order linearization. As a consequence, we also get a uniqueness result. We also give a detailed presentation of the forward problem for the equation $\square u +a u^m=0$.

研究の動機と目的

• 境界測定値からコンパクトに台を持つ時間依存ポテンシャル $ a(x,t) $ を一意かつ Hölder 穏定に回復することの確立。
• 線形手法の限界を克服するため、非線形性を構成的手段として活用することで、非線形波動方程式への逆問題理論の拡張。
• 境界データに加法的ノイズが存在する状況でも、$ a $ の近似を構成的に提供し、実用的状況における安定性を保証する方法の確立。
• 小境界データにおけるソリューションの存在および一意性を示す前向き問題の厳密な解析を、ソボレフ空間における小境界データに対して実施。
• 高次線形化技術を用いて、時間依存係数への境界制御法の一般化を実現。

提案手法

• 非線形波動方程式の高次線形化を用いて、境界測定値からポテンシャル $ a $ の情報を抽出する。
• 境界 $ \partial\Omega \times [0,T] $ における小解 $ u_f $ の法線微分を用いて、ディリクレ・トゥ・ノイマン（DN）写像を定義する。
• $ m $ 階の差分作用素を用いて、線形化方程式における積 $ a v_1 \cdots v_m $ を分離し、$ a $ の回復を可能にする。
• ソボレフ空間における Carleman 評価とエネルギー評価を用いて、解のノルムを制御し、安定性を保証する。
• 小境界データ $ f $ に対して $ H^{s+1} $ に属する解の列を構成し、解がエネルギー空間 $ E^{s+1} $ に留まるように保証する。
• ノイズモデル $ \mathcal{E} $ を導入し、DN 写像の有界な摂動下での安定性評価を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半線形波動方程式におけるポテンシャル $ a(x,t) $ は、ディリクレ・トゥ・ノイマン写像から一意に回復可能か？
• RQ2 ノイズが存在する場合でも、境界データの小さな摂動に対して $ a $ の回復は安定か？
• RQ3 高次線形化技術を用いて非線形項を抽出し、$ a $ の構成的かつ定量的な再構成が可能か？
• RQ4 本手法は時間依存ポテンシャルへと拡張可能であり、古典的境界制御法の限界を克服できるか？
• RQ5 ノイズ測定下での逆問題に対する定量的安定性評価（例：Hölder型）は何か？

主な発見

• 著者らは、コンパクトに台を持つ $ a \in C_c^\infty(\Omega \times \mathbb{R}) $ をディリクレ・トゥ・ノイマン写像から回復する Hölder 穏定性評価を証明し、$ a $ の誤差が DN 写像の誤差のべき乗で抑えられることを示した。
• ノイズのある境界データから $ a $ を近似する構成的手段が提供され、ノイズレベル $ \gamma_0\delta $ を用いて安定性が定量的に評価された。
• 安定性評価は Hölder 型であり、非線形性の次数 $ m $、正則性 $ s $、次元 $ n $ に依存する指数を持つ。
• 境界データ $ f \in H^{s+1}(\partial\Omega \times [0,T]) $ が十分に小さい場合、解 $ u_f $ が存在し一意であることが保証された。ただし $ s+1 > (n+1)/2 $ を満たす必要がある。
• $ m $ 階の差分作用素により、項 $ m! a v_1 \cdots v_m $ が分離され、線形化系を用いた $ a $ の回復が可能となった。
• 証明により、$ \varepsilon \tau^{(s+2)/2} \leq \kappa $ が $ \delta $ が小さい場合に成り立つことが示され、線形化プロセスに必要な小正則性条件が満たされていることが保証された。