[論文レビュー] Uniqueness for a class of stochastic Fokker-Planck and porous media equations

Michael Röckner, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、退化および可測な2次係数、ブラウン運動による乗法的ノイズ、および逐次的可測な確率場の広いクラスにおける解を想定した場合、分布の意味で確率的フォッカー・プランク方程式および多孔質媒体方程式の一意性を確立する。主な結果は、マルティングール表現と$H^{-1}$-ノルムに基づくエネルギー推定を用いた、両方の方程式におけるパスごとの一意性である。

ABSTRACT

The purpose of the present note consists of first showing a uniqueness result for a stochastic Fokker-Planck equation under very general assumptions. In particular, the second order coefficients may be just measurable and degenerate. We also provide a proof for uniqueness of a stochastic porous media equation in a fairly large space.

研究の動機と目的

• 退化および可測な2次係数を有する確率的フォッカー・プランク方程式のクラスにおける一意性を確立すること。
• 標準的な$L^2$-ベースの枠組みを超えて、無限体積における確率的多孔質媒体方程式への一意性結果を拡張すること。
• 期待値における可積分性を要件としない、逐次的可測な確率場の広い空間における解の分布の意味での一意性を証明すること。
• フォッカー・プランク方程式の一意性結果を活用して、確率的多孔質媒体方程式のための確率的表現フレームワークを構築すること。
• 係数および解空間の正則性仮定を緩和することで、既存の一意性結果を一般化すること。

提案手法

• シュワーツ分布の意味で、$\mathbb{R}$ 上の確率的フォッカー・プランク方程式 (1.1) および多孔質媒体方程式 (1.2) を定式化する。
• 伊藤型確率的乗法を用い、ノイズが独立なブラウン運動$W^i_t$および決定的ドリフト$e^0(\xi)t$によって駆動されることを仮定する。
• $H^{-1}$-乗数理論を用いて、退化および可測な係数$e^i$を扱い、確率的項の定義可能性を保証する。
• 解の近似および$H^{-1}$-ノルムにおけるエネルギー推定を導くために、$\phi_\varepsilon$による滑らか化手続きを用いる。
• 2つの解の差の$H^{-1}$-ノルムに対するマルティングール表現を導出し、二乗ノルムに伊藤の公式を適用する。
• $\psi$のリプシッツ連続性およびヤング型不等式を用いて非線形項を制御し、グロワール型不等式に帰着する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次係数が僅かに可測であり、かつ退化している場合でも、確率的フォッカー・プランク方程式の一意性を確立できるか？
• RQ2 解の期待値における可積分性を要件としない無限体積における確率的多孔質媒体方程式のパスごとの一意性は可能か？
• RQ3 解のクラスを$L^2$や$L^1 \cap L^\infty$を超えて大幅に拡大できるが、分布の意味での一意性を保つことができるか？
• RQ4 $H^{-1}$-ノルムに基づくエネルギー推定およびマルティングール表現を用いることで、係数に対する正則性仮定を最小限に抑えた一意性が得られるか？
• RQ5 フォッカー・プランク方程式の一意性結果を活用して、関連する多孔質媒体方程式の一意性を証明できるか？

主な発見

• 確率的フォッカー・プランク方程式 (1.1) に対して、2次係数$a$が有界かつ逐次的可測であり、ノイズ係数$e^i$が$H^{-1}$-乗数であるという仮定の下で一意性が成立する。
• フォッカー・プランク方程式の解のクラスには、$\int_{[0,T]\times\mathbb{R}} z^2(s,\xi) \, ds \, d\xi < \infty$ almost surely を満たすすべての逐次的可測な確率場$z$が含まれる。
• 多孔質媒体方程式 (1.2) に対しては、$\int_{[0,T]\times\mathbb{R}} X^2(s,\xi) \, ds \, d\xi < \infty$ almost surely を満たすすべての逐次的可測な確率場$X$のクラスにおいて一意性が証明されているが、期待値における可積分性は要件としない。
• 証明は、2つの解の差の$H^{-1}$-ノルムにおけるエネルギー推定に依拠し、マルティングール項$M_t$を介してグロワール型不等式に帰着される。
• 主要な推定では、$\|X(t,\cdot)\|_{H^{-1}}^2 \leq M_t + C \int_0^t \|X(s,\cdot)\|_{H^{-1}}^2 \, ds$ almost surely が成り立ち、ここで$C$は$e^i$および$e^0$の乗数ノルムに依存する。
• 結果は退化に対して頑健である：$a$が退化している場合や$e^i$が僅かに可測であっても、$H^{-1}$-乗数である限り、一意性は保たれる。