[論文レビュー] Uniqueness for the martingale problem associated with pure jump processes of variable order

Huili Tang|ArXiv.org|Dec 26, 2007

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、空間に依存する可変指数 $\alpha(x)$ と有界で可測なカーネル $n(x,h)$ を通じてジャンプ強度が決まる、可変オーダーの純ジャンプ Lévy 型過程に関連するマルティングル問題の存在および一意性の十分条件を確立する。摂動技法を用い、対称 $\alpha$-安定過程の新たな遷移密度推定式を導出し、フーリエ変換手法に依存せずにパスごとの一意性を証明することで、従来の結果を多次元的・非滑らか領域へと拡張する。

ABSTRACT

Let $L$ be the operator defined on $C^2$ functions by $$L f(x)=\int[f(x+h)-f(x)-1_{(|h|\leq 1)} abla f(x)\cdot h]\frac{n(x,h)}{|h|^{d+α(x)}}dh.$$ This is an operator of variable order and the corresponding process is of pure jump type. We consider the martingale problem associated with $L$. Sufficient conditions for existence and uniqueness are given. Transition density estimates for $α$-stable processes are also obtained.

研究の動機と目的

• 純ジャンプ可変オーダー過程に関連するマルティングル問題の存在および一意性の十分条件を確立すること。
• フーリエ変換条件に依存しない形で、関数 $n(x,h)$ と $\alpha(x)$ の観点から一意性の基準を提示すること。
• 多次元的対称 $\alpha$-安定過程のための新たな遷移密度推定式を導出し、摂動議論に不可欠な役割を果たすものとする。
• 可変オーダージャンプ過程の多次元的・非滑らか領域への一意性結果の拡張、特に $\alpha(x)$ および $n(x,h)$ が $x$ に関して連続であると仮定しない場合を含む。
• 可変オーダーの場合に生じる多次元的特異性とフーリエ変換の取り扱いにくさの課題を克服すること。

提案手法

• 可変オーダー生成作用素 $\mathcal{L}$ を安定的過程の摂動とみなす。また、安定的過程を安定過程の摂動とみなす。
• フーリエ解析および極座標を用いて導出した $\alpha$-安定過程の遷移密度推定式を用い、ガンマ関数を用いて明示的な定数を計算する。
• リゾルベントに基づく議論を採用：$i$ 番目の解のリゾルベントを $\mathcal{R}_i$ と定義し、作用素ノルム $\theta = \|\mathcal{R}_1 - \mathcal{R}_2\|$ における矛盾による議論により $\theta = 0$ を示す。
• コンパクトな台を持つ $C^2$ 関数の近似に $\varphi_\varepsilon$ を用い、リゾルベント差の極限に移行する。
• マルコフ性および標本路の右連続性を活用し、リゾルベントにおける期待値の等しさから有限次元分布の等しさを結論づける。
• 関数 $\xi(x)$ のディニ連続性に基づく局所化議論を用い、局所的一意性を全的一意性へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純ジャンプ生成作用素 $\mathcal{L}$ を持つマルティングル問題が、どのような条件下で一意な解を持つのか。
• RQ2 フーリエ変換条件に依存せずに、カーネル $n(x,h)$ および指数 $\alpha(x)$ の観点から一意性を確立できるか。
• RQ3 多次元的対称 $\alpha$-安定過程の鋭い遷移密度推定式は何か。また、それらはどのように摂動議論に利用できるか。
• RQ4 摂動法は、可変オーダージャンプ過程の多次元的・非滑らか領域に適応可能か。
• RQ5 このような過程の唯一性を証明する際に、フーリエ変換を避けることは可能か。

主な発見

• 本稿は、$n(x,h)$ および $\alpha(x)$ にやや弱い正則性条件（$\xi(x)$ のディニ連続性を含む）が課された下で、$\mathcal{L}$ に関連するマルティングル問題に対してパスごとの一意性を証明する。
• 対称 $\alpha$-安定過程の遷移密度に関する新たな推定式が得られ、$0 < \alpha < 2$ の場合に明示的な定数 $c_1 = 2^\alpha \pi^{-d/2} \frac{\Gamma((d+\alpha)/2)}{\Gamma(-\alpha/2)}$ を有する。
• 著者らは、Bass [B3] らの先行研究で重要な制限要因であった、フーリエ変換比の2階微分に依存しない一意性を確立した。
• 摂動議論は多次元的特異性をうまく扱い、直接的なフーリエ解析を避けて、代わりにリゾルベントおよび滑らか化（ mollification ）技法に依存した。
• 証明により、マルティングル問題の2つの解は同一の有限次元分布を持つことが示され、マルコフ性によりパスごとの一意性が導かれる。
• 結果は多次元過程へと拡張可能であり、$\alpha(x)$ および $n(x,h)$ が $x$ に関して連続でない場合にも適用可能であり、従来の結果の適用範囲を広げた。