[論文レビュー] Uniqueness in Discrete Tomography of Planar Model Sets

Christian Huck|ArXiv.org|Jan 4, 2007

Quasicrystal Structures and Properties被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、数学的準結晶である円分モデル集合の凸部分集合が、4つの特定のΛ方向におけるX線撮影によって一意に再構成可能であることが示され、3つの方向では不十分である。代数的数論と凸幾何学を用いて、2つのΛ方向で任意の有限部分集合を逐次的に再構成可能であることを証明し、アムマン＝ビンカーおよびトゥービngen三角形タイルなど、代表的な準結晶タイリングにおいて結果を可視化している。

ABSTRACT

The problem of determining finite subsets of characteristic planar model sets (mathematical quasicrystals) $\varLambda$, called cyclotomic model sets, by parallel $X$-rays is considered. Here, an $X$-ray in direction $u$ of a finite subset of the plane gives the number of points in the set on each line parallel to $u$. For practical reasons, only $X$-rays in $\varLambda$-directions, i.e., directions parallel to non-zero elements of the difference set $\varLambda - \varLambda$, are permitted. In particular, by combining methods from algebraic number theory and convexity, it is shown that the convex subsets of a cyclotomic model set $\varLambda$, i.e., finite sets $C\subset \varLambda$ whose convex hulls contain no new points of $\varLambda$, are determined, among all convex subsets of $\varLambda$, by their $X$-rays in four prescribed $\varLambda$-directions, whereas any set of three $\varLambda$-directions does not suffice for this purpose. We also study the interactive technique of successive determination in the case of cyclotomic model sets, in which the information from previous $X$-rays is used in deciding the direction for the next $X$-ray. In particular, it is shown that the finite subsets of any cyclotomic model set $\varLambda$ can be successively determined by two $\varLambda$-directions. All results are illustrated by means of well-known examples, i.e., the cyclotomic model sets associated with the square tiling, the triangle tiling, the tiling of Ammann-Beenker, the Tübingen triangle tiling and the shield tiling.

研究の動機と目的

• 平面的円分モデル集合の有限部分集合を一意に再構成するために必要なX線方向の最小数を同定すること。
• 数学的準結晶（モデル集合）の構造が、周期的格子と同様に一意的再構成を可能にするかを調査すること。
• 逐次的X線測定のインタラクティブな手法が、必要な方向数を非インタラクティブな基準未満に削減できるかを検討すること。
• 代数的数論を用いて、古典的な離散的トモグラフィーの結果を周期的でない準結晶的構造へと拡張すること。

提案手法

• 代数的数体のミンコフスキー表現を用いて、ζₙ（原始n乗根）を用いてZ[ζₙ]の部分集合として円分モデル集合を定義する。
• 星写像⋆ₙを適用して物理空間におけるモデル集合と内部空間における窓を関連づけ、代数的特徴付けを可能にする。
• ΛおよびΛ−Λの凸性と一様離散性を用いて、有限部分集合の構造とそのX線データを分析する。
• 代数的数論の結果と幾何的議論を組み合わせ、Λ方向における3つのX線が、半径R未満のすべての有限部分集合の和集合を一意に特定できることを証明する。
• Λ方向（Λ−Λの非ゼロ要素に平行な方向）の概念を用いて、物理的に意味のある方向にX線測定を制限する。
• 逐次的決定に2つのΛ方向で十分であることを示し、過去のX線データに基づいて次に最適な方向を選択する適応的選択を繰り返し行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円分モデル集合の凸部分集合は、少数のΛ方向におけるX線で一意に特定可能か？
• RQ2 非周期的平面的モデル集合における有限部分集合の再構成に十分なX線方向の最小数は存在するか？
• RQ3 逐次的X線測定のインタラクティブな手法が、非インタラクティブな閾値未満の方向数にまで減少可能か？
• RQ4 円分モデル集合における結果は、ペンローズタイリングなどの他の準結晶的構造へと拡張可能か？
• RQ5 円分体の対称性および代数的性質は、離散的トモグラフィー再構成の一意性にどのように影響するか？

主な発見

• 4つのΛ方向で、円分モデル集合のすべての凸部分集合が一意に特定可能であり、任意の3つのΛ方向では不十分である。
• 円分モデル集合における直径がR未満のすべての有限部分集合の和集合は、Λ方向における3つのX線で一意に特定可能である。
• 任意の有限部分集合は、過去のX線データに基づく適応的選択により、2つのΛ方向で逐次的に再構成可能である。
• 結果は、代表的な準結晶的タイリング（n=4の正方形タイリング、n=6の三角形タイリング、n=8のアムマン＝ビンカー・タイリング、T"ubingen三角形タイリング）において可視化されている。
• 証明は、命題6における条件の同値性およびOₙに属する特定の代数的性質を満たす要素の存在に依拠しており、一意性を保証する。
• モデル集合の次元階層のおかげで、結果は高次元へと拡張可能であるが、非平面の場合には複雑性が増す。